Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Unicode version

Theorem orvclteel 24730
Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvclteel.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
orvclteel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 dstfrv.2 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
3 orvclteel.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 rexr 9130 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
54ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  e.  RR* )
6 mnflt 10722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
76ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  -oo  <  x )
8 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  <_  A )
97, 8jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
(  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) )
105, 9jca 519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )
11 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR* )
123adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
13 simprrl 741 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  -oo  <  x )
14 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  <_  A
)
15 xrre 10757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A
) )  ->  x  e.  RR )
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR )
1716, 14jca 519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )
1810, 17impbida 806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) ) )
1918rabbidva2 23986 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  { x  e.  RR*  |  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
20 mnfxr 10714 . . . . 5  |-  -oo  e.  RR*
213rexrd 9134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
22 iocval 10953 . . . . 5  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo (,] A )  =  { x  e.  RR*  |  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2320, 21, 22sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  -oo (,] A
)  =  { x  e.  RR*  |  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2419, 23eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  (  -oo (,] A
) )
25 iocmnfcld 18803 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (  -oo (,] A )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
263, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  -oo (,] A
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
2724, 26eqeltrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
281, 2, 3, 27orrvccel 24724 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989    -oocmnf 9118   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   (,)cioo 10916   (,]cioc 10917   topGenctg 13665   Clsdccld 17080  Probcprb 24665  rRndVarcrrv 24698  ∘RV/𝑐corvc 24713
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  24732  dstfrvinc  24734  dstfrvclim1  24735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-ac 7997  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-cld 17083  df-esum 24425  df-siga 24491  df-sigagen 24522  df-brsiga 24536  df-meas 24550  df-mbfm 24601  df-prob 24666  df-rrv 24699  df-orvc 24714
  Copyright terms: Public domain W3C validator