Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Unicode version

Theorem orvclteel 23688
Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvclteel.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
orvclteel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 dstfrv.2 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
3 orvclteel.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 rexr 8893 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
54ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  e.  RR* )
6 mnflt 10480 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
76ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  -oo  <  x )
8 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  <_  A )
97, 8jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
(  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) )
105, 9jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )
1110ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  A )  ->  (
x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) ) )
12 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR* )
133adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
14 simprrl 740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  -oo  <  x )
15 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  <_  A
)
16 xrre 10514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A
) )  ->  x  e.  RR )
1712, 13, 14, 15, 16syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR )
1817, 15jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )
1918ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  x  <_  A )
) )
2011, 19impbid 183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) ) )
2120rabbidva2 23180 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  { x  e.  RR*  |  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
22 mnfxr 10472 . . . . . 6  |-  -oo  e.  RR*
2322a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -oo  e.  RR* )
243rexrd 8897 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
25 iocval 10709 . . . . 5  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -oo (,] A )  =  { x  e.  RR*  |  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  -oo (,] A
)  =  { x  e.  RR*  |  (  -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2721, 26eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  (  -oo (,] A
) )
28 iocmnfcld 18294 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (  -oo (,] A )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
293, 28syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (  -oo (,] A
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3027, 29eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
311, 2, 3, 30orrvccel 23682 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   (,]cioc 10673   topGenctg 13358   Clsdccld 16769  Probcprb 23625  rRndVarcrrv 23658  ∘RV/𝑐corvc 23671
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  23690  dstfrvinc  23692  dstfrvclim1  23693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-cld 16772  df-esum 23426  df-siga 23484  df-sigagen 23515  df-brsiga 23528  df-meas 23542  df-mbfm 23571  df-prob 23626  df-rrv 23659  df-orvc 23672
  Copyright terms: Public domain W3C validator