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Theorem ostth 20750
Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on  QQ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value  K, a constant exponent  0  <  a  <_  1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
ostth  |-  ( F  e.  A  <->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, a, x, y    g, a, J, y    A, a, q, x, y    x, Q, y    F, a    g, q, F, y    x, F
Allowed substitution hints:    A( g)    Q( g, q, a)    J( x, q)    K( x, y, g, q, a)

Proof of Theorem ostth
StepHypRef Expression
1 qrng.q . . . . . . 7  |-  Q  =  (flds  QQ )
2 qabsabv.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 padic.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
4 ostth.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
5 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  F  e.  A )
6 1re 8805 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
76ltnri 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  <  1
8 ax-1ne0 8774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
91qrng1 20733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 1r `  Q )
101qrng0 20732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  =  ( 0g `  Q )
112, 9, 10abv1z 15559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  A  /\  1  =/=  0 )  -> 
( F `  1
)  =  1 )
128, 11mpan2 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  1 )  =  1 )
1312breq2d 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  (
1  <  ( F `  1 )  <->  1  <  1 ) )
147, 13mtbiri 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  -.  1  <  ( F ` 
1 ) )
1514adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  -.  1  <  ( F `  1
) )
16 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  1  <  ( F `  n ) )
17 fveq2 5458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
1817breq2d 4009 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1  <  ( F `  n )  <->  1  <  ( F `  1 ) ) )
1916, 18syl5ibcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  ( n  =  1  ->  1  <  ( F `  1
) ) )
2015, 19mtod 170 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  -.  n  =  1 )
21 simprl 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  n  e.  NN )
22 elnn1uz2 10261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2321, 22sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  ( n  =  1  \/  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2423ord 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  ( -.  n  =  1  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
2520, 24mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
26 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  ( ( log `  ( F `
 n ) )  /  ( log `  n
) )  =  ( ( log `  ( F `  n )
)  /  ( log `  n ) )
271, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26ostth2 20748 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  ( F `
 n ) ) )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) ) )
2827expr 601 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  <  ( F `  n )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) ) )
2928rexlimdva 2642 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) ) ) )
30 3mix2 1130 . . . 4  |-  ( E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
3129, 30syl6 31 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) ) )
32 ralnex 2528 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n )  <->  -.  E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )
)
33 simpll 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  F  e.  A )
34 simplr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  A. n  e.  NN  -.  1  < 
( F `  n
) )
35 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
3635breq2d 4009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
1  <  ( F `  n )  <->  1  <  ( F `  k ) ) )
3736notbid 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  1  <  ( F `
 n )  <->  -.  1  <  ( F `  k
) ) )
3837cbvralv 2739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n )  <->  A. k  e.  NN  -.  1  < 
( F `  k
) )
3934, 38sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  A. k  e.  NN  -.  1  < 
( F `  k
) )
40 simprl 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  p  e.  Prime )
41 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  ( F `  p )  <  1 )
42 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
( log `  ( F `  p )
)  /  ( log `  p ) )  = 
-u ( ( log `  ( F `  p
) )  /  ( log `  p ) )
43 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( F `  p
)  <_  ( F `  z ) ,  ( F `  z ) ,  ( F `  p ) )  =  if ( ( F `
 p )  <_ 
( F `  z
) ,  ( F `
 z ) ,  ( F `  p
) )
441, 2, 3, 4, 33, 39, 40, 41, 42, 43ostth3 20749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  ( F `  p )  <  1
) )  ->  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) )
4544expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( F `
 p )  <  1  ->  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) ) )
4645reximdva 2630 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( E. p  e. 
Prime  ( F `  p
)  <  1  ->  E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) ) )
471, 2, 3padicabvf 20742 . . . . . . . . . . 11  |-  J : Prime --> A
48 ffn 5327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : Prime --> A  ->  J  Fn  Prime )
49 fveq1 5457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  (
g `  y )  =  ( ( J `
 p ) `  y ) )
5049oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  (
( g `  y
)  ^ c  a )  =  ( ( ( J `  p
) `  y )  ^ c  a )
)
5150mpteq2dv 4081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y
)  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) )
5251eqeq2d 2269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( J `  p )  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) )  <-> 
F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p
) `  y )  ^ c  a )
) ) )
5352rexrn 5601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  Fn  Prime  ->  ( E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) )  <->  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
5447, 48, 53mp2b 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) )  <->  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
5554rexbii 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  <->  E. a  e.  RR+  E. p  e. 
Prime  F  =  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) ) )
56 rexcom 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  RR+  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  <->  E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
5755, 56bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  <->  E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
58 3mix3 1131 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
5957, 58sylbir 206 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  Prime  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
6046, 59syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( E. p  e. 
Prime  ( F `  p
)  <  1  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) ) )
61 ralnex 2528 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1  <->  -.  E. p  e.  Prime  ( F `  p )  <  1
)
62 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  F  e.  A )
63 simprl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
6463, 38sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 k ) )
65 simprr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p
)  <  1 )
66 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  k  ->  ( F `  p )  =  ( F `  k ) )
6766breq1d 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  k  ->  (
( F `  p
)  <  1  <->  ( F `  k )  <  1
) )
6867notbid 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  k  ->  ( -.  ( F `  p
)  <  1  <->  -.  ( F `  k )  <  1 ) )
6968cbvralv 2739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1  <->  A. k  e.  Prime  -.  ( F `  k
)  <  1 )
7065, 69sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  Prime  -.  ( F `  k
)  <  1 )
711, 2, 3, 4, 62, 64, 70ostth1 20744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  F  =  K )
72 3mix1 1129 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  K  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
7371, 72syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  /\  A. p  e.  Prime  -.  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
7473expr 601 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  -.  ( F `  p )  <  1  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) ) )
7561, 74syl5bir 211 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( -.  E. p  e.  Prime  ( F `  p )  <  1  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) ) )
7660, 75pm2.61d 152 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
7776ex 425 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  -> 
( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) ) )
7832, 77syl5bir 211 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( -.  E. n  e.  NN  1  <  ( F `  n )  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) ) )
7931, 78pm2.61d 152 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) ) )
80 id 21 . . . 4  |-  ( F  =  K  ->  F  =  K )
811qdrng 20731 . . . . 5  |-  Q  e.  DivRing
821qrngbas 20730 . . . . . 6  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
832, 82, 10, 4abvtriv 15568 . . . . 5  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  K  e.  A
)
8481, 83ax-mp 10 . . . 4  |-  K  e.  A
8580, 84syl6eqel 2346 . . 3  |-  ( F  =  K  ->  F  e.  A )
861, 2qabsabv 20740 . . . . . 6  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
87 fvres 5475 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( abs  |`  QQ ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
8887oveq1d 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  a )  =  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )
8988mpteq2ia 4076 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )
9089eqcomi 2262 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  a ) )
912, 82, 90abvcxp 20726 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  |`  QQ )  e.  A  /\  a  e.  ( 0 (,] 1
) )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
9286, 91mpan 654 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
93 eleq1 2318 . . . . 5  |-  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  -> 
( F  e.  A  <->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
) )
9492, 93syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( a  e.  ( 0 (,] 1 )  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  ->  F  e.  A )
)
9594rexlimiv 2636 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  ->  F  e.  A )
961, 2, 3padicabvcxp 20743 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  a  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
9796ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  p  e.  Prime )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  e.  A
)
98 eleq1 2318 . . . . . 6  |-  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) )  ->  ( F  e.  A  <->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) )  e.  A ) )
9997, 98syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  p  e.  Prime )  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `
 y )  ^ c  a ) )  ->  F  e.  A
) )
10099rexlimivv 2647 . . . 4  |-  ( E. a  e.  RR+  E. p  e.  Prime  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  p ) `  y
)  ^ c  a ) )  ->  F  e.  A )
10155, 100sylbi 189 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) )  ->  F  e.  A )
10285, 95, 1013jaoi 1250 . 2  |-  ( ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  \/ 
E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `
 y )  ^ c  a ) ) )  ->  F  e.  A )
10379, 102impbii 182 1  |-  ( F  e.  A  <->  ( F  =  K  \/  E. a  e.  ( 0 (,] 1
) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  \/  E. a  e.  RR+  E. g  e.  ran  J  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( g `  y )  ^ c 
a ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 938    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   ifcif 3539   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ran crn 4662    |` cres 4663    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705   1c1 8706    < clt 8835    <_ cle 8836   -ucneg 9006    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   ZZ>=cuz 10197   QQcq 10283   RR+crp 10321   (,]cioc 10623   ^cexp 11070   abscabs 11684   Primecprime 12720    pCnt cpc 12851   ↾s cress 13111   DivRingcdr 15474  AbsValcabv 15543  ℂfldccnfld 16339   logclog 19874    ^ c ccxp 19875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-ef 12311  df-sin 12313  df-cos 12314  df-pi 12316  df-divides 12494  df-gcd 12648  df-prime 12721  df-pc 12852  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-grp 14451  df-minusg 14452  df-mulg 14454  df-subg 14580  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-mgp 15288  df-ring 15302  df-cring 15303  df-ur 15304  df-oppr 15367  df-dvdsr 15385  df-unit 15386  df-invr 15416  df-dvr 15427  df-drng 15476  df-subrg 15505  df-abv 15544  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-limc 19178  df-dv 19179  df-log 19876  df-cxp 19877
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