Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Unicode version

Theorem ostth1 20744
 Description: - Lemma for ostth 20750: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If is equal to on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 15556 of the absolute value, is equal to on all the integers, and ostthlem1 20738 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q flds
qabsabv.a AbsVal
ostth.k
ostth.1
ostth1.2
ostth1.3
Assertion
Ref Expression
ostth1
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 flds
2 qabsabv.a . 2 AbsVal
3 ostth.1 . 2
41qdrng 20731 . . 3
51qrngbas 20730 . . . 4
61qrng0 20732 . . . 4
7 ostth.k . . . 4
82, 5, 6, 7abvtriv 15568 . . 3
94, 8mp1i 13 . 2
10 ostth1.3 . . . . 5
1110r19.21bi 2616 . . . 4
12 prmnn 12724 . . . . 5
13 ostth1.2 . . . . . 6
1413r19.21bi 2616 . . . . 5
1512, 14sylan2 462 . . . 4
16 nnq 10296 . . . . . . 7
1712, 16syl 17 . . . . . 6
182, 5abvcl 15551 . . . . . 6
193, 17, 18syl2an 465 . . . . 5
20 1re 8805 . . . . 5
21 lttri3 8873 . . . . 5
2219, 20, 21sylancl 646 . . . 4
2311, 15, 22mpbir2and 893 . . 3
2412adantl 454 . . . 4
25 eqeq1 2264 . . . . . . . 8
2625ifbid 3557 . . . . . . 7
27 c0ex 8800 . . . . . . . 8
28 1ex 8801 . . . . . . . 8
2927, 28ifex 3597 . . . . . . 7
3026, 7, 29fvmpt 5536 . . . . . 6
3116, 30syl 17 . . . . 5
32 nnne0 9746 . . . . . . 7
3332neneqd 2437 . . . . . 6
34 iffalse 3546 . . . . . 6
3533, 34syl 17 . . . . 5
3631, 35eqtrd 2290 . . . 4
3724, 36syl 17 . . 3
3823, 37eqtr4d 2293 . 2
391, 2, 3, 9, 38ostthlem2 20739 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2518  cif 3539   class class class wbr 3997   cmpt 4051  cfv 4673  (class class class)co 5792  cr 8704  cc0 8705  c1 8706   clt 8835  cneg 9006  cn 9714  cq 10283  cexp 11070  cprime 12720   cpc 12851   ↾s cress 13111  cdr 15474  AbsValcabv 15543  ℂfldccnfld 16339 This theorem is referenced by:  ostth  20750 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-addf 8784  ax-mulf 8785 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-ico 10628  df-fz 10749  df-seq 11013  df-exp 11071  df-divides 12494  df-prime 12721  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-0g 13366  df-mnd 14329  df-grp 14451  df-minusg 14452  df-subg 14580  df-cmn 15053  df-mgp 15288  df-ring 15302  df-cring 15303  df-ur 15304  df-oppr 15367  df-dvdsr 15385  df-unit 15386  df-invr 15416  df-dvr 15427  df-drng 15476  df-subrg 15505  df-abv 15544  df-cnfld 16340
 Copyright terms: Public domain W3C validator