MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth1 Unicode version

Theorem ostth1 20744
Description: - Lemma for ostth 20750: trivial case. (Not that the proof is trivial, but that we are proving that the function is trivial.) If  F is equal to  1 on the primes, then by complete induction and the multiplicative property abvmul 15556 of the absolute value,  F is equal to  1 on all the integers, and ostthlem1 20738 extends this to the other rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth1.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
ostth1.3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  -.  ( F `  n
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
ostth1  |-  ( ph  ->  F  =  K )
Distinct variable groups:    n, K    x, n, q, ph    A, n, q, x    Q, n, x    n, F, q, x
Allowed substitution hints:    Q( q)    J( x, n, q)    K( x, q)

Proof of Theorem ostth1
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2  |-  Q  =  (flds  QQ )
2 qabsabv.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
3 ostth.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
41qdrng 20731 . . 3  |-  Q  e.  DivRing
51qrngbas 20730 . . . 4  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
61qrng0 20732 . . . 4  |-  0  =  ( 0g `  Q )
7 ostth.k . . . 4  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
82, 5, 6, 7abvtriv 15568 . . 3  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  K  e.  A
)
94, 8mp1i 13 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
10 ostth1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  -.  ( F `  n
)  <  1 )
1110r19.21bi 2616 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  ( F `  n )  <  1 )
12 prmnn 12724 . . . . 5  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
13 ostth1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
1413r19.21bi 2616 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  1  <  ( F `  n
) )
1512, 14sylan2 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  1  <  ( F `  n
) )
16 nnq 10296 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
1712, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  QQ )
182, 5abvcl 15551 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
193, 17, 18syl2an 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
20 1re 8805 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21 lttri3 8873 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( F `  n )  =  1  <-> 
( -.  ( F `
 n )  <  1  /\  -.  1  <  ( F `  n
) ) ) )
2219, 20, 21sylancl 646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( F `  n )  =  1  <->  ( -.  ( F `  n )  <  1  /\  -.  1  <  ( F `  n ) ) ) )
2311, 15, 22mpbir2and 893 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  =  1 )
2412adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  NN )
25 eqeq1 2264 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
x  =  0  <->  n  =  0 ) )
2625ifbid 3557 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
27 c0ex 8800 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
28 1ex 8801 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
2927, 28ifex 3597 . . . . . . 7  |-  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  e.  _V
3026, 7, 29fvmpt 5536 . . . . . 6  |-  ( n  e.  QQ  ->  ( K `  n )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
3116, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  ( K `  n )  =  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 ) )
32 nnne0 9746 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3332neneqd 2437 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  -.  n  =  0 )
34 iffalse 3546 . . . . . 6  |-  ( -.  n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  =  1 )
3533, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  =  0 ,  0 ,  1 )  =  1 )
3631, 35eqtrd 2290 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  ( K `  n )  =  1 )
3724, 36syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( K `  n )  =  1 )
3823, 37eqtr4d 2293 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( F `  n )  =  ( K `  n ) )
391, 2, 3, 9, 38ostthlem2 20739 1  |-  ( ph  ->  F  =  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   ifcif 3539   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706    < clt 8835   -ucneg 9006   NNcn 9714   QQcq 10283   ^cexp 11070   Primecprime 12720    pCnt cpc 12851   ↾s cress 13111   DivRingcdr 15474  AbsValcabv 15543  ℂfldccnfld 16339
This theorem is referenced by:  ostth  20750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-ico 10628  df-fz 10749  df-seq 11013  df-exp 11071  df-divides 12494  df-prime 12721  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-0g 13366  df-mnd 14329  df-grp 14451  df-minusg 14452  df-subg 14580  df-cmn 15053  df-mgp 15288  df-ring 15302  df-cring 15303  df-ur 15304  df-oppr 15367  df-dvdsr 15385  df-unit 15386  df-invr 15416  df-dvr 15427  df-drng 15476  df-subrg 15505  df-abv 15544  df-cnfld 16340
  Copyright terms: Public domain W3C validator