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Theorem ostth2 20780
Description: - Lemma for ostth 20782: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
Distinct variable groups:    q, a, x, y, ph    J, a, y    A, a, q, x, y   
x, N, y    x, Q, y    F, a, q, y    R, a, q, y   
x, F
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    Q( q, a)    R( x)    J( x, q)    K( x, y, q, a)    N( q, a)

Proof of Theorem ostth2
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
2 ostth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4 eluz2b2 10285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
53, 4sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
65simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnq 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
86, 7syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
10 qrng.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  (flds  QQ )
1110qrngbas 20762 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
129, 11abvcl 15583 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
132, 8, 12syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
14 ostth2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
1513, 14rplogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR+ )
166nnred 9756 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
175simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  N )
1816, 17rplogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
1915, 18rpdivcld 10402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  e.  RR+ )
201, 19syl5eqel 2368 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 10385 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2220rpgt0d 10388 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  R )
236nnnn0d 10013 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2410, 9qabvle 20768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
252, 23, 24syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  N )
266nnne0d 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
2710qrng0 20764 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  Q )
289, 11, 27abvgt0 15587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  N
) )
292, 8, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
3013, 29elrpd 10383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
3130reeflogd 19969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
326nnrpd 10384 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3332reeflogd 19969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
3425, 31, 333brtr4d 4054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  N ) ) )
3515rpred 10385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
3632relogcld 19968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
37 efle 12392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3934, 38mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
4018rpcnd 10387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
4140mulid1d 8847 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  1 )  =  ( log `  N
) )
4239, 41breqtrrd 4050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  1 ) )
43 1re 8832 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4443a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4535, 44, 18ledivmuld 10434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  1  <->  ( log `  ( F `  N
) )  <_  (
( log `  N
)  x.  1 ) ) )
4642, 45mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
1 )
471, 46syl5eqbr 4057 . . 3  |-  ( ph  ->  R  <_  1 )
48 0xr 8873 . . . 4  |-  0  e.  RR*
49 elioc2 10707 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) ) )
5048, 43, 49mp2an 655 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) )
5121, 22, 47, 50syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 (,] 1 ) )
5210, 9qabsabv 20772 . . . 4  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
53 fvres 5502 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( abs  |`  QQ ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
5453oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R )  =  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )
5554mpteq2ia 4103 . . . . . 6  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )
5655eqcomi 2288 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R ) )
579, 11, 56abvcxp 20758 . . . 4  |-  ( ( ( abs  |`  QQ )  e.  A  /\  R  e.  ( 0 (,] 1
) )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )  e.  A
)
5852, 51, 57sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )  e.  A
)
59 eluzelz 10233 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
60 zq 10317 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  QQ )
61 fveq2 5485 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
6261oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  ^ c  R
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
63 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )
64 ovex 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  z )  ^ c  R )  e.  _V
6562, 63, 64fvmpt 5563 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
6659, 60, 653syl 20 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
6766adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
68 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
69 eluz2b2 10285 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7068, 69sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7170simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN )
7271nnred 9756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR )
7371nnnn0d 10013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN0 )
7473nn0ge0d 10016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  z )
7572, 74absidd 11899 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( abs `  z )  =  z )
7675oveq1d 5834 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( abs `  z )  ^ c  R )  =  ( z  ^ c  R
) )
7772recnd 8856 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  CC )
7871nnne0d 9785 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  =/=  0 )
7920rpcnd 10387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
8079adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  CC )
8177, 78, 80cxpefd 20053 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^ c  R )  =  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) ) )
82 padic.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
842adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  F  e.  A )
853adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
8614adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  N ) )
87 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( F `
 z ) )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )
88 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  z
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 z ) )  =  if ( ( F `  z )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  z ) )
89 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  N )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  z ) )
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 20779 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  z )  /\  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) ) )
9190simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
9290simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  z ) )
93 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  N
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 N ) )  =  if ( ( F `  N )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  N ) )
94 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  z )  /  ( log `  N
) )  =  ( ( log `  z
)  /  ( log `  N ) )
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 20779 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  N )  /\  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) )
9695simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  <_  R
)
9721adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  RR )
9859adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ZZ )
9998, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  QQ )
1009, 11abvcl 15583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
10184, 99, 100syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1029, 11, 27abvgt0 15587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  z
) )
10384, 99, 78, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( F `  z ) )
104101, 103elrpd 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR+ )
105104relogcld 19968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  RR )
10671nnrpd 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR+ )
107106relogcld 19968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  RR )
108 ef0 12366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  0 )  =  1
10970simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  z )
110106reeflogd 19969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  z
) )  =  z )
111109, 110breqtrrd 4050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( exp `  ( log `  z ) ) )
112108, 111syl5eqbr 4057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) )
113 0re 8833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
114 eflt 12391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( log `  z )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( log `  z )  <->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
115113, 107, 114sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 0  <  ( log `  z
)  <->  ( exp `  0
)  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
116112, 115mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( log `  z ) )
117116gt0ne0d 9332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  =/=  0
)
118105, 107, 117redivcld 9583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  e.  RR )
11997, 118letri3d 8956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  =  ( ( log `  ( F `  z
) )  /  ( log `  z ) )  <-> 
( R  <_  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  /\  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) ) )
12091, 96, 119mpbir2and 890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
121120oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) ) )
122105recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  CC )
123107recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  CC )
124122, 123, 117divcan1d 9532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
125121, 124eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
126125fveq2d 5489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) ) )
127104reeflogd 19969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) )  =  ( F `  z ) )
12881, 126, 1273eqtrd 2320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^ c  R )  =  ( F `  z ) )
12967, 76, 1283eqtrrd 2321 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
) )
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 20770 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) ) )
131 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( a  =  R  ->  (
( abs `  y
)  ^ c  a )  =  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )
132131mpteq2dv 4108 . . . 4  |-  ( a  =  R  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) )
133132eqeq2d 2295 . . 3  |-  ( a  =  R  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  <->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) ) )
134133rspcev 2885 . 2  |-  ( ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  /\  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) ) )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
13551, 130, 134syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   E.wrex 2545   ifcif 3566   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    x. cmul 8737   RR*cxr 8861    < clt 8862    <_ cle 8863   -ucneg 9033    / cdiv 9418   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   QQcq 10311   RR+crp 10349   (,]cioc 10651   ^cexp 11098   abscabs 11713   expce 12337   Primecprime 12752    pCnt cpc 12883   ↾s cress 13143  AbsValcabv 15575  ℂfldccnfld 16371   logclog 19906    ^ c ccxp 19907
This theorem is referenced by:  ostth  20782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-mulg 14486  df-subg 14612  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-cring 15335  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-drng 15508  df-subrg 15537  df-abv 15576  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-cxp 19909
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