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Theorem ostth2 21331
Description: - Lemma for ostth 21333: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
Distinct variable groups:    q, a, x, y, ph    J, a, y    A, a, q, x, y   
x, N, y    x, Q, y    F, a, q, y    R, a, q, y   
x, F
Allowed substitution hints:    Q( q, a)    R( x)    J( x, q)    K( x, y, q, a)    N( q, a)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
2 ostth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
53, 4sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
65simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnq 10587 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
10 qrng.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  (flds  QQ )
1110qrngbas 21313 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
129, 11abvcl 15912 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
132, 8, 12syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
14 ostth2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
1513, 14rplogcld 20524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR+ )
166nnred 10015 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
175simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  N )
1816, 17rplogcld 20524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
1915, 18rpdivcld 10665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  e.  RR+ )
201, 19syl5eqel 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2120rpred 10648 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2220rpgt0d 10651 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  R )
236nnnn0d 10274 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2410, 9qabvle 21319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
252, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  N )
266nnne0d 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
2710qrng0 21315 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  Q )
289, 11, 27abvgt0 15916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  N
) )
292, 8, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 N ) )
3013, 29elrpd 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
3130reeflogd 20519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  =  ( F `  N ) )
326nnrpd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
3332reeflogd 20519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
3425, 31, 333brtr4d 4242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  N ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  N ) ) )
3515rpred 10648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR )
3632relogcld 20518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
37 efle 12719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  ( F `  N )
)  e.  RR  /\  ( log `  N )  e.  RR )  -> 
( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N )  <->  ( exp `  ( log `  ( F `  N )
) )  <_  ( exp `  ( log `  N
) ) ) )
3934, 38mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( log `  N ) )
4018rpcnd 10650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
4140mulid1d 9105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  x.  1 )  =  ( log `  N
) )
4239, 41breqtrrd 4238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  N )
)  <_  ( ( log `  N )  x.  1 ) )
43 1re 9090 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4535, 44, 18ledivmuld 10697 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  N
) )  /  ( log `  N ) )  <_  1  <->  ( log `  ( F `  N
) )  <_  (
( log `  N
)  x.  1 ) ) )
4642, 45mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )  <_ 
1 )
471, 46syl5eqbr 4245 . . 3  |-  ( ph  ->  R  <_  1 )
48 0xr 9131 . . . 4  |-  0  e.  RR*
49 elioc2 10973 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) ) )
5048, 43, 49mp2an 654 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( R  e.  RR  /\  0  < 
R  /\  R  <_  1 ) )
5121, 22, 47, 50syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 (,] 1 ) )
5210, 9qabsabv 21323 . . . 4  |-  ( abs  |`  QQ )  e.  A
53 fvres 5745 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( abs  |`  QQ ) `
 y )  =  ( abs `  y
) )
5453oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  ->  (
( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R )  =  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )
5554mpteq2ia 4291 . . . . . 6  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )
5655eqcomi 2440 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( abs  |`  QQ ) `
 y )  ^ c  R ) )
579, 11, 56abvcxp 21309 . . . 4  |-  ( ( ( abs  |`  QQ )  e.  A  /\  R  e.  ( 0 (,] 1
) )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )  e.  A
)
5852, 51, 57sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) )  e.  A
)
59 eluzelz 10496 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
60 zq 10580 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  QQ )
61 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
6261oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  ^ c  R
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
63 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )
64 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  z )  ^ c  R )  e.  _V
6562, 63, 64fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
6659, 60, 653syl 19 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
6766adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
)  =  ( ( abs `  z )  ^ c  R ) )
68 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
69 eluz2b2 10548 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7068, 69sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
7170simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN )
7271nnred 10015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR )
7371nnnn0d 10274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  NN0 )
7473nn0ge0d 10277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  z )
7572, 74absidd 12225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( abs `  z )  =  z )
7675oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( abs `  z )  ^ c  R )  =  ( z  ^ c  R
) )
7772recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  CC )
7871nnne0d 10044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  =/=  0 )
7920rpcnd 10650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
8079adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  CC )
8177, 78, 80cxpefd 20603 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^ c  R )  =  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) ) )
82 padic.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
842adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  F  e.  A )
853adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
8614adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  N ) )
87 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( F `
 z ) )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )
88 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  z
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 z ) )  =  if ( ( F `  z )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  z ) )
89 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  N )  /  ( log `  z
) )  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  z ) )
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 21330 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  z )  /\  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) ) )
9190simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  <_  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
9290simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( F `  z ) )
93 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  N
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 N ) )  =  if ( ( F `  N )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  N ) )
94 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  z )  /  ( log `  N
) )  =  ( ( log `  z
)  /  ( log `  N ) )
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 21330 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 1  <  ( F `  N )  /\  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) )
9695simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  <_  R
)
9721adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  e.  RR )
9859adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ZZ )
9998, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  QQ )
1009, 11abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
10184, 99, 100syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1029, 11, 27abvgt0 15916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  z
) )
10384, 99, 78, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( F `  z ) )
104101, 103elrpd 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR+ )
105104relogcld 20518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  RR )
10671nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  RR+ )
107106relogcld 20518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  RR )
108 ef0 12693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  0 )  =  1
10970simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  z )
110106reeflogd 20519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  z
) )  =  z )
111109, 110breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( exp `  ( log `  z ) ) )
112108, 111syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) )
113 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
114 eflt 12718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( log `  z )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( log `  z )  <->  ( exp `  0 )  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
115113, 107, 114sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 0  <  ( log `  z
)  <->  ( exp `  0
)  <  ( exp `  ( log `  z
) ) ) )
116112, 115mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <  ( log `  z ) )
117116gt0ne0d 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  =/=  0
)
118105, 107, 117redivcld 9842 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( log `  ( F `  z ) )  / 
( log `  z
) )  e.  RR )
11997, 118letri3d 9215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  =  ( ( log `  ( F `  z
) )  /  ( log `  z ) )  <-> 
( R  <_  (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  /\  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  <_  R ) ) )
12091, 96, 119mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  R  =  ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) ) )
121120oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( ( ( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) ) )
122105recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  ( F `  z
) )  e.  CC )
123107recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( log `  z )  e.  CC )
124122, 123, 117divcan1d 9791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( log `  ( F `  z )
)  /  ( log `  z ) )  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
125121, 124eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( R  x.  ( log `  z
) )  =  ( log `  ( F `
 z ) ) )
126125fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( R  x.  ( log `  z ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) ) )
127104reeflogd 20519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  z )
) )  =  ( F `  z ) )
12881, 126, 1273eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( z  ^ c  R )  =  ( F `  z ) )
12967, 76, 1283eqtrrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( F `  z )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) `  z
) )
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 21321 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) ) )
131 oveq2 6089 . . . . 5  |-  ( a  =  R  ->  (
( abs `  y
)  ^ c  a )  =  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) )
132131mpteq2dv 4296 . . . 4  |-  ( a  =  R  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) )
133132eqeq2d 2447 . . 3  |-  ( a  =  R  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c 
a ) )  <->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y
)  ^ c  R
) ) ) )
134133rspcev 3052 . 2  |-  ( ( R  e.  ( 0 (,] 1 )  /\  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  R ) ) )  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
13551, 130, 134syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( 0 (,] 1 ) F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( abs `  y )  ^ c  a ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   QQcq 10574   RR+crp 10612   (,]cioc 10917   ^cexp 11382   abscabs 12039   expce 12664   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210   ↾s cress 13470  AbsValcabv 15904  ℂfldccnfld 16703   logclog 20452    ^ c ccxp 20453
This theorem is referenced by:  ostth  21333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-abv 15905  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455
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