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Theorem ostth2lem3 21189
Description: Lemma for ostth2 21191. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b2 10473 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
42, 3sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
54simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 nnq 10512 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
8 qabsabv.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
9 qrng.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  (flds  QQ )
109qrngbas 21173 . . . . . . 7  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
118, 10abvcl 15832 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
121, 7, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
1413recnd 9040 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
15 ostth2.7 . . . . . . 7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
16 1re 9016 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
18 eluz2b2 10473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2019simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21 nnq 10512 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
238, 10abvcl 15832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
241, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
25 ifcl 3711 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
2616, 24, 25sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2715, 26syl5eqel 2464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR )
29 0re 9017 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
32 0lt1 9475 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
34 max2 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3524, 31, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3635, 15syl6breqr 4186 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3730, 31, 27, 33, 36ltletrd 9155 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3837adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
T )
3928, 38elrpd 10571 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR+ )
4039rpge0d 10577 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  T )
41 ostth2.8 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
425nnred 9940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
434simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
4442, 43rplogcld 20384 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
4520nnred 9940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4619simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4745, 46rplogcld 20384 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4844, 47rpdivcld 10590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR+ )
4941, 48syl5eqel 2464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
5049rpred 10573 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR )
5228, 40, 51recxpcld 20474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR )
5352recnd 9040 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  CC )
5439, 51rpcxpcld 20481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR+ )
5554rpne0d 10578 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  =/=  0 )
56 nnnn0 10153 . . . 4  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  NN0 )
5756adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e. 
NN0 )
5814, 53, 55, 57expdivd 11457 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  =  ( ( ( F `  N ) ^ X )  / 
( ( T  ^ c  U ) ^ X
) ) )
59 reexpcl 11318 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  N ) ^ X
)  e.  RR )
6012, 56, 59syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  e.  RR )
6120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
6261nnred 9940 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
63 nnre 9932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  RR )
6463adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
6564, 51remulcld 9042 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  e.  RR )
6657nn0ge0d 10202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  X )
6749rpge0d 10577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  U )
6867adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  U )
6964, 51, 66, 68mulge0d 9528 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_ 
( X  x.  U
) )
70 flge0nn0 11145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  x.  U
)  e.  RR  /\  0  <_  ( X  x.  U ) )  -> 
( |_ `  ( X  x.  U )
)  e.  NN0 )
7165, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e. 
NN0 )
72 peano2nn0 10185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7473nn0red 10200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  RR )
7562, 74remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7628, 73reexpcld 11460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7775, 76remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
78 peano2re 9164 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
7951, 78syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
8064, 79remulcld 9042 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
8162, 80remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  RR )
8252, 57reexpcld 11460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  RR )
8382, 28remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T )  e.  RR )
8481, 83remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  e.  RR )
851adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  F  e.  A )
867adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
879, 8qabvexp 21180 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8885, 86, 57, 87syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8964recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
9044rpred 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
9190recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  CC )
9347rpred 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR )
9493recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9594adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  CC )
9647adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR+ )
9796rpne0d 10578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  =/=  0
)
9889, 92, 95, 97divassd 9750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
9941oveq2i 6024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  x.  U )  =  ( X  x.  (
( log `  N
)  /  ( log `  M ) ) )
10098, 99syl6eqr 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  U ) )
101100oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) ) )
10289, 92mulcld 9034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  CC )
103102, 95, 97divcan1d 9716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
104101, 103eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
105 flltp1 11129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( X  x.  U )  <  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10665, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  < 
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10765, 74, 96, 106ltmul1dd 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
108104, 107eqbrtrrd 4168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
10990adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  RR )
11064, 109remulcld 9042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  RR )
11193adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR )
11274, 111remulcld 9042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  e.  RR )
113 eflt 12638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  e.  RR  /\  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  e.  RR )  ->  (
( X  x.  ( log `  N ) )  <  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  <->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
114110, 112, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  < 
( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  <-> 
( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
115108, 114mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
1165nnrpd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
117 nnz 10228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  ZZ )
118 reexplog 20349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
119116, 117, 118syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
12061nnrpd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR+ )
12173nn0zd 10298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  ZZ )
122 reexplog 20349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR+  /\  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
123120, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
124115, 119, 1233brtr4d 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  < 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
125 nnexpcl 11314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( N ^ X
)  e.  NN )
1265, 56, 125syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  NN )
12761, 73nnexpcld 11464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )
128 nnltlem1 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  NN  /\  ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( N ^ X )  <  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
129126, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  <  ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
130124, 129mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  <_ 
( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )
131126nnnn0d 10199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e. 
NN0 )
132 nn0uz 10445 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
133131, 132syl6eleq 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
134127nnzd 10299 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ )
135 peano2zm 10245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
137 elfz5 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( N ^ X
)  <_  ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
138133, 136, 137syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
139130, 138mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
140 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
141 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
142 ostth2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
143 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
144 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
1459, 8, 140, 141, 1, 2, 142, 143, 17, 144, 15ostth2lem2 21188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N ^ X
)  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) ) )
1461453expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X
) )  <_  (
( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
14773, 146syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
148139, 147mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
14988, 148eqbrtrrd 4168 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
15081, 76remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
151 peano2re 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  (
( X  x.  U
)  +  1 )  e.  RR )
15265, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  e.  RR )
15371nn0red 10200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e.  RR )
15416a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
155 flle 11128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
15665, 155syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
157153, 65, 154, 156leadd1dd 9565 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  1 ) )
158 nnge1 9951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  1  <_  X )
159158adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  X )
160154, 64, 65, 159leadd2dd 9566 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  X
) )
16151recnd 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  CC )
162154recnd 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
16389, 161, 162adddid 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) ) )
16489mulid1d 9031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
165164oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
166163, 165eqtrd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
167160, 166breqtrrd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16874, 152, 80, 157, 167letrd 9152 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16961nngt0d 9968 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
M )
170 lemul2 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( X  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
17174, 80, 62, 169, 170syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
172168, 171mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
173 expgt0 11333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  T )  -> 
0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) )
17428, 121, 38, 173syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
175 lemul1 9787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
17675, 81, 76, 174, 175syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
177172, 176mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
17828recnd 9040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
179178, 71expp1d 11444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  x.  T
) )
18036adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  T )
181 remulcl 9001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( U  x.  X
)  e.  RR )
18250, 63, 181syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  x.  X )  e.  RR )
18389, 161mulcomd 9035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  =  ( U  x.  X
) )
184156, 183breqtrd 4170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( U  x.  X
) )
18528, 180, 153, 182, 184cxplead 20472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) ) )
186 cxpexp 20419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0 )  -> 
( T  ^ c 
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  =  ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) ) )
187178, 71, 186syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  =  ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) ) )
18839, 51, 89cxpmuld 20485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^ c  U )  ^ c  X ) )
189 cxpexp 20419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  ^ c  U )  e.  CC  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( ( T  ^ c  U )  ^ c  X )  =  ( ( T  ^ c  U ) ^ X
) )
19053, 57, 189syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
)  ^ c  X
)  =  ( ( T  ^ c  U
) ^ X ) )
191188, 190eqtrd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^ c  U ) ^ X ) )
192185, 187, 1913brtr3d 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  <_ 
( ( T  ^ c  U ) ^ X
) )
19328, 71reexpcld 11460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  e.  RR )
194193, 82, 39lemul1d 10612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  <->  ( ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  x.  T )  <_  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
195192, 194mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  x.  T )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T ) )
196179, 195eqbrtrd 4166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T ) )
197 nngt0 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  0  <  X )
198197adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
X )
19929a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
20049adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR+ )
201200rpgt0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
U )
20251ltp1d 9866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  < 
( U  +  1 ) )
203199, 51, 79, 201, 202lttrd 9156 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( U  +  1 ) )
20464, 79, 198, 203mulgt0d 9150 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
20562, 80, 169, 204mulgt0d 9150 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
206 lemul2 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T )  e.  RR  /\  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
20776, 83, 81, 205, 206syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
208196, 207mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
20977, 150, 84, 177, 208letrd 9152 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21060, 77, 84, 149, 209letrd 9152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21181recnd 9040 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  CC )
21282recnd 9040 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  CC )
213211, 212, 178mul12d 9200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  x.  T ) ) )
21462recnd 9040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
21580recnd 9040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  CC )
216214, 215, 178mul32d 9201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
217214, 178mulcld 9034 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  CC )
21879recnd 9040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  CC )
219217, 89, 218mul12d 9200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
220216, 219eqtrd 2412 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
221220oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
222213, 221eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
223210, 222breqtrd 4170 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
22462, 28remulcld 9042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  RR )
225224, 79remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
22664, 225remulcld 9042 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR )
227117adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
22854, 227rpexpcld 11466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  RR+ )
22960, 226, 228ledivmuld 10622 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ X
)  /  ( ( T  ^ c  U
) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) ) )
230223, 229mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ X )  /  ( ( T  ^ c  U ) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
23158, 230eqbrtrd 4166 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3675   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   -ucneg 9217    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   QQcq 10499   RR+crp 10537   ...cfz 10968   |_cfl 11121   ^cexp 11302   expce 12584   Primecprime 12999    pCnt cpc 13130   ↾s cress 13390  AbsValcabv 15824  ℂfldccnfld 16619   logclog 20312    ^ c ccxp 20313
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  21190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-sin 12592  df-cos 12593  df-pi 12595  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-drng 15757  df-subrg 15786  df-abv 15825  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314  df-cxp 20315
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