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Theorem ostth2lem3 20786
Description: Lemma for ostth2 20788. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.3  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
ostth2.4  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
ostth2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
ostth2.6  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
ostth2.7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
ostth2.8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
Assertion
Ref Expression
ostth2lem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, q, ph    x, T    x, U    x, X    A, q, x    x, N    x, Q    F, q    R, q    x, F
Allowed substitution hints:    Q( q)    R( x)    S( x, q)    T( q)    U( q)    J( x, q)    K( x, q)    M( q)    N( q)    X( q)

Proof of Theorem ostth2lem3
StepHypRef Expression
1 ostth.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
2 ostth2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 eluz2b2 10292 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
42, 3sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
54simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 nnq 10331 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
8 qabsabv.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
9 qrng.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  (flds  QQ )
109qrngbas 20770 . . . . . . 7  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
118, 10abvcl 15591 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ )  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
121, 7, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  RR )
1413recnd 8863 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 N )  e.  CC )
15 ostth2.7 . . . . . . 7  |-  T  =  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )
16 1re 8839 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 ostth2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
18 eluz2b2 10292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  1  <  M ) )
2019simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21 nnq 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
238, 10abvcl 15591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  M  e.  QQ )  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
241, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
25 ifcl 3603 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( F `  M )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  M )  <_  1 ,  1 ,  ( F `  M ) )  e.  RR )
2616, 24, 25sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( F `
 M )  <_ 
1 ,  1 ,  ( F `  M
) )  e.  RR )
2715, 26syl5eqel 2369 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR )
29 0re 8840 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3029a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3116a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
32 0lt1 9298 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
3332a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
34 max2 10518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3524, 31, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
( F `  M
)  <_  1 , 
1 ,  ( F `
 M ) ) )
3635, 15syl6breqr 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
3730, 31, 27, 33, 36ltletrd 8978 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  T )
3837adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
T )
3928, 38elrpd 10390 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  RR+ )
4039rpge0d 10396 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  T )
41 ostth2.8 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )
425nnred 9763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
434simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
4442, 43rplogcld 19982 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR+ )
4520nnred 9763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4619simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  M )
4745, 46rplogcld 19982 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR+ )
4844, 47rpdivcld 10409 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  /  ( log `  M ) )  e.  RR+ )
4941, 48syl5eqel 2369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
5049rpred 10392 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5150adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR )
5228, 40, 51recxpcld 20072 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR )
5352recnd 8863 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  CC )
5439, 51rpcxpcld 20079 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  e.  RR+ )
5554rpne0d 10397 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  U )  =/=  0 )
56 nnnn0 9974 . . . 4  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  NN0 )
5756adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e. 
NN0 )
5814, 53, 55, 57expdivd 11261 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  =  ( ( ( F `  N ) ^ X )  / 
( ( T  ^ c  U ) ^ X
) ) )
59 reexpcl 11122 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  N ) ^ X
)  e.  RR )
6012, 56, 59syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  e.  RR )
6120adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
6261nnred 9763 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
63 nnre 9755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  RR )
6463adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
6564, 51remulcld 8865 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  e.  RR )
6657nn0ge0d 10023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  X )
6749rpge0d 10396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  U )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_  U )
6964, 51, 66, 68mulge0d 9351 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  <_ 
( X  x.  U
) )
70 flge0nn0 10950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  x.  U
)  e.  RR  /\  0  <_  ( X  x.  U ) )  -> 
( |_ `  ( X  x.  U )
)  e.  NN0 )
7165, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e. 
NN0 )
72 peano2nn0 10006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7371, 72syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
7473nn0red 10021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  RR )
7562, 74remulcld 8865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7628, 73reexpcld 11264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7775, 76remulcld 8865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
78 peano2re 8987 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  RR  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
7951, 78syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  RR )
8064, 79remulcld 8865 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
8162, 80remulcld 8865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  RR )
8252, 57reexpcld 11264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  RR )
8382, 28remulcld 8865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T )  e.  RR )
8481, 83remulcld 8865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  e.  RR )
851adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  F  e.  A )
867adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  N  e.  QQ )
879, 8qabvexp 20777 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  QQ  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8885, 86, 57, 87syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  =  ( ( F `  N ) ^ X
) )
8964recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  CC )
9044rpred 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
9190recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  CC )
9347rpred 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  RR )
9493recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  M
)  e.  CC )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  CC )
9647adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR+ )
9796rpne0d 10397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  =/=  0
)
9889, 92, 95, 97divassd 9573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( ( log `  N )  /  ( log `  M
) ) ) )
9941oveq2i 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  x.  U )  =  ( X  x.  (
( log `  N
)  /  ( log `  M ) ) )
10098, 99syl6eqr 2335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  / 
( log `  M
) )  =  ( X  x.  U ) )
101100oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) ) )
10289, 92mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  CC )
103102, 95, 97divcan1d 9539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  /  ( log `  M
) )  x.  ( log `  M ) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
104101, 103eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  =  ( X  x.  ( log `  N ) ) )
105 flltp1 10934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( X  x.  U )  <  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10665, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  < 
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )
10765, 74, 96, 106ltmul1dd 10443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  x.  ( log `  M
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
108104, 107eqbrtrrd 4047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  <  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) )
10990adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  N )  e.  RR )
11064, 109remulcld 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( log `  N
) )  e.  RR )
11193adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( log `  M )  e.  RR )
11274, 111remulcld 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  e.  RR )
113 eflt 12399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  x.  ( log `  N ) )  e.  RR  /\  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  e.  RR )  ->  (
( X  x.  ( log `  N ) )  <  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M
) )  <->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
114110, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  ( log `  N ) )  < 
( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) )  <-> 
( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) ) )
115108, 114mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
1165nnrpd 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
117 nnz 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  X  e.  ZZ )
118 reexplog 19950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
119116, 117, 118syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  =  ( exp `  ( X  x.  ( log `  N ) ) ) )
12061nnrpd 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  RR+ )
12173nn0zd 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  ZZ )
122 reexplog 19950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR+  /\  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
123120, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( exp `  (
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  x.  ( log `  M ) ) ) )
124115, 119, 1233brtr4d 4055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  < 
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
125 nnexpcl 11118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  NN0 )  -> 
( N ^ X
)  e.  NN )
1265, 56, 125syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  NN )
12761, 73nnexpcld 11268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )
128 nnltlem1 10083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  NN  /\  ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( N ^ X )  <  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
129126, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  <  ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
130124, 129mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  <_ 
( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )
131126nnnn0d 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e. 
NN0 )
132 nn0uz 10264 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
133131, 132syl6eleq 2375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
134127nnzd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ )
135 peano2zm 10064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
137 elfz5 10792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N ^ X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( N ^ X
)  <_  ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
138133, 136, 137syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( N ^ X )  <_  (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
139130, 138mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) ) )
140 padic.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
141 ostth.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
142 ostth2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( F `
 N ) )
143 ostth2.4 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( log `  ( F `  N )
)  /  ( log `  N ) )
144 ostth2.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( ( log `  ( F `  M )
)  /  ( log `  M ) )
1459, 8, 140, 141, 1, 2, 142, 143, 17, 144, 15ostth2lem2 20785 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N ^ X
)  e.  ( 0 ... ( ( M ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) ) )
1461453expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... (
( M ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X
) )  <_  (
( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
14773, 146syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( N ^ X )  e.  ( 0 ... ( ( M ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( F `  ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
148139, 147mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( F `
 ( N ^ X ) )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
14988, 148eqbrtrrd 4047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
15081, 76remulcld 8865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
151 peano2re 8987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  (
( X  x.  U
)  +  1 )  e.  RR )
15265, 151syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  e.  RR )
15371nn0red 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  e.  RR )
15416a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
155 flle 10933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  x.  U )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
15665, 155syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( X  x.  U
) )
157153, 65, 154, 156leadd1dd 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  1 ) )
158 nnge1 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  NN  ->  1  <_  X )
159158adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  X )
160154, 64, 65, 159leadd2dd 9389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( ( X  x.  U )  +  X
) )
16151recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  CC )
162154recnd 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
16389, 161, 162adddid 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) ) )
16489mulid1d 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  1 )  =  X )
165164oveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  ( X  x.  1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
166163, 165eqtrd 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  =  ( ( X  x.  U )  +  X
) )
167160, 166breqtrrd 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( X  x.  U )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16874, 152, 80, 157, 167letrd 8975 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 )  <_ 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
16961nngt0d 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
M )
170 lemul2 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( X  x.  ( U  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
17174, 80, 62, 169, 170syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 )  <_  ( X  x.  ( U  +  1
) )  <->  ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
172168, 171mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
173 expgt0 11137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  T )  -> 
0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) )
17428, 121, 38, 173syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )
175 lemul1 9610 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
17675, 81, 76, 174, 175syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) ) )
177172, 176mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) ) ) )
17828recnd 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
179178, 71expp1d 11248 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  =  ( ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  x.  T
) )
18036adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  1  <_  T )
181 remulcl 8824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR  /\  X  e.  RR )  ->  ( U  x.  X
)  e.  RR )
18250, 63, 181syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  x.  X )  e.  RR )
18389, 161mulcomd 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  U )  =  ( U  x.  X
) )
184156, 183breqtrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( X  x.  U ) )  <_ 
( U  x.  X
) )
18528, 180, 153, 182, 184cxplead 20070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) ) )
186 cxpexp 20017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( |_ `  ( X  x.  U ) )  e.  NN0 )  -> 
( T  ^ c 
( |_ `  ( X  x.  U )
) )  =  ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) ) )
187178, 71, 186syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  =  ( T ^
( |_ `  ( X  x.  U )
) ) )
18839, 51, 89cxpmuld 20083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^ c  U )  ^ c  X ) )
189 cxpexp 20017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  ^ c  U )  e.  CC  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( ( T  ^ c  U )  ^ c  X )  =  ( ( T  ^ c  U ) ^ X
) )
19053, 57, 189syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
)  ^ c  X
)  =  ( ( T  ^ c  U
) ^ X ) )
191188, 190eqtrd 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T  ^ c  ( U  x.  X ) )  =  ( ( T  ^ c  U ) ^ X ) )
192185, 187, 1913brtr3d 4054 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  <_ 
( ( T  ^ c  U ) ^ X
) )
19328, 71reexpcld 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  e.  RR )
194193, 82, 39lemul1d 10431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  <_  ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  <->  ( ( T ^ ( |_ `  ( X  x.  U
) ) )  x.  T )  <_  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
195192, 194mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( |_
`  ( X  x.  U ) ) )  x.  T )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T ) )
196179, 195eqbrtrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T ) )
197 nngt0 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  NN  ->  0  <  X )
198197adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
X )
19929a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
20049adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  e.  RR+ )
201200rpgt0d 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
U )
20251ltp1d 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  U  < 
( U  +  1 ) )
203199, 51, 79, 201, 202lttrd 8979 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( U  +  1 ) )
20464, 79, 198, 203mulgt0d 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( X  x.  ( U  +  1 ) ) )
20562, 80, 169, 204mulgt0d 8973 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  0  < 
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
206 lemul2 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T )  e.  RR  /\  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( T ^ ( ( |_
`  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
20776, 83, 81, 205, 206syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T ^ ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  <_  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T )  <->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( T ^ (
( |_ `  ( X  x.  U )
)  +  1 ) ) )  <_  (
( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) ) )
208196, 207mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
20977, 150, 84, 177, 208letrd 8975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( ( |_ `  ( X  x.  U ) )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( |_ `  ( X  x.  U
) )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21060, 77, 84, 149, 209letrd 8975 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) )  x.  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  T ) ) )
21181recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  e.  CC )
21282recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  CC )
213211, 212, 178mul12d 9023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  x.  T ) ) )
21462recnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
21580recnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  CC )
216214, 215, 178mul32d 9024 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
217214, 178mulcld 8857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  CC )
21879recnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( U  +  1 )  e.  CC )
219217, 89, 218mul12d 9023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( X  x.  ( U  +  1
) ) )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
220216, 219eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T )  =  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
221220oveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
222213, 221eqtrd 2317 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  ( X  x.  ( U  + 
1 ) ) )  x.  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  T ) )  =  ( ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
223210, 222breqtrd 4049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_ 
( ( ( T  ^ c  U ) ^ X )  x.  ( X  x.  (
( M  x.  T
)  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) )
22462, 28remulcld 8865 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( M  x.  T )  e.  RR )
225224, 79remulcld 8865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  + 
1 ) )  e.  RR )
22664, 225remulcld 8865 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  e.  RR )
227117adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  X  e.  ZZ )
22854, 227rpexpcld 11270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( T  ^ c  U
) ^ X )  e.  RR+ )
22960, 226, 228ledivmuld 10441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ X
)  /  ( ( T  ^ c  U
) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  N ) ^ X )  <_  (
( ( T  ^ c  U ) ^ X
)  x.  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) ) ) )
230223, 229mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
) ^ X )  /  ( ( T  ^ c  U ) ^ X ) )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
23158, 230eqbrtrd 4045 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N
)  /  ( T  ^ c  U ) ) ^ X )  <_  ( X  x.  ( ( M  x.  T )  x.  ( U  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   ifcif 3567   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   -ucneg 9040    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   QQcq 10318   RR+crp 10356   ...cfz 10784   |_cfl 10926   ^cexp 11106   expce 12345   Primecprime 12760    pCnt cpc 12891   ↾s cress 13151  AbsValcabv 15583  ℂfldccnfld 16379   logclog 19914    ^ c ccxp 19915
This theorem is referenced by:  ostth2lem4  20787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-drng 15516  df-subrg 15545  df-abv 15584  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917
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