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Theorem ostth3 21332
Description: - Lemma for ostth 21333: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
ostth.k  |-  K  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  1 ) )
ostth.1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
ostth3.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
ostth3.3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
ostth3.4  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  <  1 )
ostth3.5  |-  R  = 
-u ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )
ostth3.6  |-  S  =  if ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  p
) ,  ( F `
 p ) ,  ( F `  P
) )
Assertion
Ref Expression
ostth3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
Distinct variable groups:    n, p, y    n, K    x, n, a, p, q, y, ph    J, a, p, y    S, a    A, a, n, p, q, x, y    Q, n, x, y    F, a, n, p, q, y    P, a, p, q, x, y    R, a, p, q, y    x, F
Allowed substitution hints:    P( n)    Q( q, p, a)    R( x, n)    S( x, y, n, q, p)    J( x, n, q)    K( x, y, q, p, a)

Proof of Theorem ostth3
Dummy variables  k 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth3.5 . . . 4  |-  R  = 
-u ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )
2 ostth.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
3 ostth3.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4 prmuz2 13097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
6 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
75, 6sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  e.  NN  /\  1  <  P ) )
87simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
9 nnq 10587 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  QQ )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  QQ )
11 qabsabv.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
12 qrng.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  (flds  QQ )
1312qrngbas 21313 . . . . . . . . . 10  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
1411, 13abvcl 15912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  P  e.  QQ )  ->  ( F `  P
)  e.  RR )
152, 10, 14syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  e.  RR )
168nnne0d 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
1712qrng0 21315 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g `  Q )
1811, 13, 17abvgt0 15916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  P  e.  QQ  /\  P  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  P
) )
192, 10, 16, 18syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 P ) )
2015, 19elrpd 10646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  e.  RR+ )
2120relogcld 20518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  P )
)  e.  RR )
228nnred 10015 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
237simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  P )
2422, 23rplogcld 20524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  P
)  e.  RR+ )
2521, 24rerpdivcld 10675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) )  e.  RR )
2625renegcld 9464 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR )
271, 26syl5eqel 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
28 ostth3.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  <  1 )
29 1rp 10616 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
30 logltb 20494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  (
( F `  P
)  <  1  <->  ( log `  ( F `  P
) )  <  ( log `  1 ) ) )
3120, 29, 30sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  P )  <  1  <->  ( log `  ( F `
 P ) )  <  ( log `  1
) ) )
3228, 31mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  P )
)  <  ( log `  1 ) )
33 log1 20480 . . . . . . . 8  |-  ( log `  1 )  =  0
3432, 33syl6breq 4251 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  P )
)  <  0 )
3524rpcnd 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  P
)  e.  CC )
3635mul01d 9265 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  P
)  x.  0 )  =  0 )
3734, 36breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  P )
)  <  ( ( log `  P )  x.  0 ) )
38 0re 9091 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4021, 39, 24ltdivmuld 10695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )  <  0  <->  ( log `  ( F `  P
) )  <  (
( log `  P
)  x.  0 ) ) )
4137, 40mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) )  <  0 )
4225lt0neg1d 9596 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )  <  0  <->  0  <  -u ( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) ) ) )
4341, 42mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  -u (
( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) ) )
4443, 1syl6breqr 4252 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  R )
4527, 44elrpd 10646 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
46 padic.j . . . . 5  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
4712, 11, 46padicabvcxp 21326 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  R  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  R
) )  e.  A
)
483, 45, 47syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) )  e.  A )
49 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  P  ->  (
( J `  P
) `  y )  =  ( ( J `
 P ) `  P ) )
5049oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  P  ->  (
( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  R
)  =  ( ( ( J `  P
) `  P )  ^ c  R )
)
51 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P
) `  y )  ^ c  R )
)  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P
) `  y )  ^ c  R )
)
52 ovex 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J `  P
) `  P )  ^ c  R )  e.  _V
5350, 51, 52fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  QQ  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  P )  =  ( ( ( J `  P ) `  P
)  ^ c  R
) )
5410, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `
 y )  ^ c  R ) ) `  P )  =  ( ( ( J `  P ) `  P
)  ^ c  R
) )
5546padicval 21311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  e.  QQ )  ->  (
( J `  P
) `  P )  =  if ( P  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  P ) ) ) )
563, 10, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( J `  P ) `  P
)  =  if ( P  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P 
pCnt  P ) ) ) )
5716neneqd 2617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  P  =  0 )
58 iffalse 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  =  0  ->  if ( P  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  P ) ) )  =  ( P ^ -u ( P 
pCnt  P ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( P  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  P ) ) )  =  ( P ^ -u ( P 
pCnt  P ) ) )
608nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
6160exp1d 11518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
6261oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( P ^ 1 ) )  =  ( P  pCnt  P ) )
63 1z 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
64 pcid 13246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^
1 ) )  =  1 )
653, 63, 64sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( P ^ 1 ) )  =  1 )
6662, 65eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  P
)  =  1 )
6766negeqd 9300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( P  pCnt  P )  =  -u 1
)
6867oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P ^ -u ( P  pCnt  P ) )  =  ( P ^ -u 1 ) )
69 znegcl 10313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
7063, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  ZZ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  ZZ )
7260, 16, 71cxpexpzd 20602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ^ c  -u 1 )  =  ( P ^ -u 1
) )
7368, 72eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P ^ -u ( P  pCnt  P ) )  =  ( P  ^ c  -u 1 ) )
7456, 59, 733eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J `  P ) `  P
)  =  ( P  ^ c  -u 1
) )
7574oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( J `
 P ) `  P )  ^ c  R )  =  ( ( P  ^ c  -u 1 )  ^ c  R ) )
7627recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
7776mulm1d 9485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  R )  =  -u R )
781negeqi 9299 . . . . . . . . . . 11  |-  -u R  =  -u -u ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )
7925recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) )  e.  CC )
8079negnegd 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u -u ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )  =  ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) ) )
8178, 80syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u R  =  ( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) ) )
8277, 81eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  R )  =  ( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) ) )
8382oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ^ c 
( -u 1  x.  R
) )  =  ( P  ^ c  ( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) ) ) )
848nnrpd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  RR+ )
8570zrei 10288 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
8685a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
8784, 86, 76cxpmuld 20625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ^ c 
( -u 1  x.  R
) )  =  ( ( P  ^ c  -u 1 )  ^ c  R ) )
8860, 16, 79cxpefd 20603 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  ^ c 
( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) ) )  =  ( exp `  (
( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) )  x.  ( log `  P
) ) ) )
8921recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( F `  P )
)  e.  CC )
9024rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  P
)  =/=  0 )
9189, 35, 90divcan1d 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  ( F `  P
) )  /  ( log `  P ) )  x.  ( log `  P
) )  =  ( log `  ( F `
 P ) ) )
9291fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) )  x.  ( log `  P
) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( F `  P ) ) ) )
9320reeflogd 20519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  ( F `  P ) ) )  =  ( F `  P ) )
9488, 92, 933eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ^ c 
( ( log `  ( F `  P )
)  /  ( log `  P ) ) )  =  ( F `  P ) )
9583, 87, 943eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  ^ c  -u 1 )  ^ c  R )  =  ( F `  P ) )
9654, 75, 953eqtrrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  R
) ) `  P
) )
97 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( P  =  p  ->  ( F `  P )  =  ( F `  p ) )
98 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( P  =  p  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  P )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  p ) )
9997, 98eqeq12d 2450 . . . . . 6  |-  ( P  =  p  ->  (
( F `  P
)  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  R
) ) `  P
)  <->  ( F `  p )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  p ) ) )
10096, 99syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  =  p  ->  ( F `  p )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  p ) ) )
101100adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( P  =  p  ->  ( F `
 p )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `
 y )  ^ c  R ) ) `  p ) ) )
102 prmnn 13082 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
103102ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  p  e.  NN )
104 nnq 10587 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  QQ )
105103, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  p  e.  QQ )
106 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  p  ->  (
( J `  P
) `  y )  =  ( ( J `
 P ) `  p ) )
107106oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  p  ->  (
( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  R
)  =  ( ( ( J `  P
) `  p )  ^ c  R )
)
108 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J `  P
) `  p )  ^ c  R )  e.  _V
109107, 51, 108fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  QQ  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  p )  =  ( ( ( J `  P ) `  p
)  ^ c  R
) )
110105, 109syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  p )  =  ( ( ( J `  P ) `  p
)  ^ c  R
) )
11176ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  R  e.  CC )
1121111cxpd 20598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
1  ^ c  R
)  =  1 )
1133ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  P  e.  Prime )
11446padicval 21311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  p  e.  QQ )  ->  (
( J `  P
) `  p )  =  if ( p  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  p ) ) ) )
115113, 105, 114syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
( J `  P
) `  p )  =  if ( p  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  p ) ) ) )
116103nnne0d 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  p  =/=  0 )
117116neneqd 2617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  -.  p  =  0 )
118 iffalse 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  p  =  0  ->  if ( p  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  p ) ) )  =  ( P ^ -u ( P 
pCnt  p ) ) )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  if ( p  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  p ) ) )  =  ( P ^ -u ( P 
pCnt  p ) ) )
120 pceq0 13244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  p  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  p
)  =  0  <->  -.  P  ||  p ) )
1213, 102, 120syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( P  pCnt  p )  =  0  <->  -.  P  ||  p
) )
122 dvdsprm 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( P  ||  p  <->  P  =  p ) )
1235, 122sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( P  ||  p  <->  P  =  p
) )
124123necon3bbid 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  P  ||  p  <->  P  =/=  p ) )
125121, 124bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( P  pCnt  p )  =  0  <->  P  =/=  p
) )
126125biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( P  pCnt  p )  =  0 )
127126negeqd 9300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  -u ( P  pCnt  p )  = 
-u 0 )
128 neg0 9347 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 0  =  0
129127, 128syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  -u ( P  pCnt  p )  =  0 )
130129oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( P ^ -u ( P 
pCnt  p ) )  =  ( P ^ 0 ) )
13160ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  P  e.  CC )
132131exp0d 11517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( P ^ 0 )  =  1 )
133130, 132eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( P ^ -u ( P 
pCnt  p ) )  =  1 )
134115, 119, 1333eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
( J `  P
) `  p )  =  1 )
135134oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
( ( J `  P ) `  p
)  ^ c  R
)  =  ( 1  ^ c  R ) )
136 2re 10069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
2  e.  RR )
138 ostth3.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  if ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  p
) ,  ( F `
 p ) ,  ( F `  P
) )
1392ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  F  e.  A )
14011, 13abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  A  /\  p  e.  QQ )  ->  ( F `  p
)  e.  RR )
141139, 105, 140syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( F `  p )  e.  RR )
14211, 13, 17abvgt0 15916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  A  /\  p  e.  QQ  /\  p  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  p
) )
143139, 105, 116, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  0  <  ( F `  p
) )
144141, 143elrpd 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( F `  p )  e.  RR+ )
145144adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( F `  p
)  e.  RR+ )
14620ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( F `  P
)  e.  RR+ )
147 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  RR+  /\  ( F `  P )  e.  RR+ )  ->  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  e.  RR+ )
148145, 146, 147syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  e.  RR+ )
149138, 148syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  S  e.  RR+ )
150149rprecred 10659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( 1  /  S
)  e.  RR )
151 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( F `  p
)  <  1 )
15228ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( F `  P
)  <  1 )
153 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  p )  =  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  -> 
( ( F `  p )  <  1  <->  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  <  1 ) )
154 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  P )  =  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  -> 
( ( F `  P )  <  1  <->  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  <  1 ) )
155153, 154ifboth 3770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  p
)  <  1  /\  ( F `  P )  <  1 )  ->  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  <  1 )
156151, 152, 155syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  if ( ( F `  P )  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) )  <  1 )
157138, 156syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  S  <  1 )
158149reclt1d 10661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( S  <  1  <->  1  <  ( 1  /  S ) ) )
159157, 158mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
1  <  ( 1  /  S ) )
160 expnbnd 11508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  /  S
)  e.  RR  /\  1  <  ( 1  /  S ) )  ->  E. k  e.  NN  2  <  ( ( 1  /  S ) ^
k ) )
161137, 150, 159, 160syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  E. k  e.  NN  2  <  ( ( 1  /  S ) ^
k ) )
162149rpcnd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  S  e.  CC )
163162adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  S  e.  CC )
164149rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  S  =/=  0 )
165164adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  S  =/=  0 )
166 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
167166adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
168163, 165, 167exprecd 11531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  S
) ^ k )  =  ( 1  / 
( S ^ k
) ) )
1692ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  A )
170 ax-1ne0 9059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  =/=  0
17112qrng1 21316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  =  ( 1r `  Q )
17211, 171, 17abv1z 15920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  A  /\  1  =/=  0 )  -> 
( F `  1
)  =  1 )
173169, 170, 172sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  =  1 )
1748ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  P  e.  NN )
175 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
176 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P ^ k
)  e.  NN )
177174, 175, 176syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
178177nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P ^ k )  e.  ZZ )
179102ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  p  e.  NN )
180 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
181179, 175, 180syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
p ^ k )  e.  NN )
182181nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
p ^ k )  e.  ZZ )
183 bezout 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P ^ k
)  e.  ZZ  /\  ( p ^ k
)  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( P ^ k
)  gcd  ( p ^ k ) )  =  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^
k )  x.  b
) ) )
184178, 182, 183syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( ( P ^ k )  gcd  ( p ^ k
) )  =  ( ( ( P ^
k )  x.  a
)  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) ) )
185 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  P  =/=  p )
1863ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  P  e.  Prime )
187 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  p  e.  Prime )
188 prmrp 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( P  gcd  p
)  =  1  <->  P  =/=  p ) )
189186, 187, 188syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( ( P  gcd  p )  =  1  <-> 
P  =/=  p ) )
190185, 189mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( P  gcd  p
)  =  1 )
191190adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P  gcd  p )  =  1 )
192174adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  P  e.  NN )
193179adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  NN )
194 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
195 rppwr 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN  /\  p  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P  gcd  p
)  =  1  -> 
( ( P ^
k )  gcd  (
p ^ k ) )  =  1 ) )
196192, 193, 194, 195syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P  gcd  p
)  =  1  -> 
( ( P ^
k )  gcd  (
p ^ k ) )  =  1 ) )
197191, 196mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P ^ k
)  gcd  ( p ^ k ) )  =  1 )
198197adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( P ^ k
)  gcd  ( p ^ k ) )  =  1 )
199198eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( P ^
k )  gcd  (
p ^ k ) )  =  ( ( ( P ^ k
)  x.  a )  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^ k
)  x.  b ) ) ) )
2002ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  F  e.  A )
201177adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
202 nnq 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P ^ k )  e.  NN  ->  ( P ^ k )  e.  QQ )
203201, 202syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( P ^ k )  e.  QQ )
204 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  a  e.  ZZ )
205 zq 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  QQ )
206204, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  a  e.  QQ )
207 qmulcl 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( P ^ k
)  e.  QQ  /\  a  e.  QQ )  ->  ( ( P ^
k )  x.  a
)  e.  QQ )
208203, 206, 207syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( P ^ k
)  x.  a )  e.  QQ )
209181adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
p ^ k )  e.  NN )
210 nnq 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( p ^ k )  e.  NN  ->  (
p ^ k )  e.  QQ )
211209, 210syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
p ^ k )  e.  QQ )
212 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  b  e.  ZZ )
213 zq 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  QQ )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  b  e.  QQ )
215 qmulcl 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( p ^ k
)  e.  QQ  /\  b  e.  QQ )  ->  ( ( p ^
k )  x.  b
)  e.  QQ )
216211, 214, 215syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( p ^ k
)  x.  b )  e.  QQ )
217 qaddcl 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( P ^
k )  x.  a
)  e.  QQ  /\  ( ( p ^
k )  x.  b
)  e.  QQ )  ->  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^
k )  x.  b
) )  e.  QQ )
218208, 216, 217syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( P ^
k )  x.  a
)  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) )  e.  QQ )
21911, 13abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^ k
)  x.  b ) )  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^ k
)  x.  b ) ) )  e.  RR )
220200, 218, 219syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( (
( P ^ k
)  x.  a )  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) ) )  e.  RR )
22111, 13abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( ( P ^
k )  x.  a
)  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( P ^
k )  x.  a
) )  e.  RR )
222200, 208, 221syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( ( P ^ k )  x.  a ) )  e.  RR )
22311, 13abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( ( p ^
k )  x.  b
)  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( p ^
k )  x.  b
) )  e.  RR )
224200, 216, 223syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( (
p ^ k )  x.  b ) )  e.  RR )
225222, 224readdcld 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  (
( P ^ k
)  x.  a ) )  +  ( F `
 ( ( p ^ k )  x.  b ) ) )  e.  RR )
226 rpexpcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( S  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S ^ k )  e.  RR+ )
227149, 166, 226syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S ^ k )  e.  RR+ )
228227rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S ^ k )  e.  RR )
229228adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( S ^ k )  e.  RR )
230 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( S ^ k )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( S ^ k ) )  e.  RR )
231136, 229, 230sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
2  x.  ( S ^ k ) )  e.  RR )
232 qex 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  QQ  e.  _V
233 cnfldadd 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  +  =  ( +g  ` fld )
23412, 233ressplusg 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
235232, 234ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  +  =  ( +g  `  Q )
23611, 13, 235abvtri 15918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( ( P ^
k )  x.  a
)  e.  QQ  /\  ( ( p ^
k )  x.  b
)  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^ k
)  x.  b ) ) )  <_  (
( F `  (
( P ^ k
)  x.  a ) )  +  ( F `
 ( ( p ^ k )  x.  b ) ) ) )
237200, 208, 216, 236syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( (
( P ^ k
)  x.  a )  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) ) )  <_  ( ( F `
 ( ( P ^ k )  x.  a ) )  +  ( F `  (
( p ^ k
)  x.  b ) ) ) )
238 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  x.  =  ( .r ` fld )
23912, 238ressmulr 13582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
240232, 239ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  x.  =  ( .r `  Q )
24111, 13, 240abvmul 15917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( P ^ k )  e.  QQ  /\  a  e.  QQ )  ->  ( F `  ( ( P ^ k )  x.  a ) )  =  ( ( F `  ( P ^ k ) )  x.  ( F `
 a ) ) )
242200, 203, 206, 241syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( ( P ^ k )  x.  a ) )  =  ( ( F `  ( P ^ k ) )  x.  ( F `
 a ) ) )
24310ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  P  e.  QQ )
244175ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  k  e.  NN0 )
24512, 11qabvexp 21320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F  e.  A  /\  P  e.  QQ  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( P ^ k ) )  =  ( ( F `
 P ) ^
k ) )
246200, 243, 244, 245syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( P ^ k ) )  =  ( ( F `
 P ) ^
k ) )
247246oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  ( P ^ k ) )  x.  ( F `  a ) )  =  ( ( ( F `
 P ) ^
k )  x.  ( F `  a )
) )
248242, 247eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( ( P ^ k )  x.  a ) )  =  ( ( ( F `
 P ) ^
k )  x.  ( F `  a )
) )
249200, 243, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  P )  e.  RR )
250249, 244reexpcld 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  P
) ^ k )  e.  RR )
25111, 13abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F  e.  A  /\  a  e.  QQ )  ->  ( F `  a
)  e.  RR )
252200, 206, 251syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  a )  e.  RR )
253250, 252remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  P ) ^ k
)  x.  ( F `
 a ) )  e.  RR )
254 elz 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( a  e.  ZZ  <->  ( a  e.  RR  /\  ( a  =  0  \/  a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN ) ) )
255254simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( a  e.  ZZ  ->  (
a  =  0  \/  a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN ) )
256255adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  =  0  \/  a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN ) )
25711, 17abv0 15919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
2582, 257syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
259 0le1 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  0  <_  1
260258, 259syl6eqbr 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  1 )
261260adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `
 0 )  <_ 
1 )
262 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  =  0  ->  ( F `  a )  =  ( F ` 
0 ) )
263262breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( a  =  0  ->  (
( F `  a
)  <_  1  <->  ( F `  0 )  <_ 
1 ) )
264261, 263syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  =  0  ->  ( F `  a )  <_  1 ) )
265 ostth3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n ) )
266 nnq 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  QQ )
26711, 13abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
2682, 266, 267syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  RR )
269 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  1  e.  RR
270 lenlt 9154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( F `  n )  <_  1  <->  -.  1  <  ( F `
 n ) ) )
271268, 269, 270sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  <_  1  <->  -.  1  <  ( F `  n
) ) )
272271ralbidva 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  <_  1  <->  A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `  n ) ) )
273265, 272mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  <_  1 )
274 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( n  =  a  ->  ( F `  n )  =  ( F `  a ) )
275274breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  n
)  <_  1  <->  ( F `  a )  <_  1
) )
276275rspccv 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  <_  1  ->  ( a  e.  NN  ->  ( F `  a )  <_  1
) )
277273, 276syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  ( a  e.  NN  ->  ( F `  a
)  <_  1 ) )
278277adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  NN  ->  ( F `  a )  <_  1 ) )
2792adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  ->  F  e.  A )
280205ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  -> 
a  e.  QQ )
281 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( inv g `  Q )  =  ( inv g `  Q )
28211, 13, 281abvneg 15922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( F  e.  A  /\  a  e.  QQ )  ->  ( F `  (
( inv g `  Q ) `  a
) )  =  ( F `  a ) )
283279, 280, 282syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
( inv g `  Q ) `  a
) )  =  ( F `  a ) )
28412qrngneg 21317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( a  e.  QQ  ->  (
( inv g `  Q ) `  a
)  =  -u a
)
285280, 284syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  -> 
( ( inv g `  Q ) `  a
)  =  -u a
)
286 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  ->  -u a  e.  NN )
287285, 286eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  -> 
( ( inv g `  Q ) `  a
)  e.  NN )
288273adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  <_  1 )
289 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 a )  -> 
( F `  n
)  =  ( F `
 ( ( inv g `  Q ) `
 a ) ) )
290289breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( n  =  ( ( inv g `  Q ) `
 a )  -> 
( ( F `  n )  <_  1  <->  ( F `  ( ( inv g `  Q
) `  a )
)  <_  1 ) )
291290rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( inv g `  Q ) `  a
)  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  <_  1  ->  ( F `  ( ( inv g `  Q ) `
 a ) )  <_  1 ) )
292287, 288, 291sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  -> 
( F `  (
( inv g `  Q ) `  a
) )  <_  1
)
293283, 292eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  -u a  e.  NN ) )  -> 
( F `  a
)  <_  1 )
294293expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( -u a  e.  NN  ->  ( F `  a )  <_  1 ) )
295264, 278, 2943jaod 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  =  0  \/  a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN )  ->  ( F `  a )  <_  1
) )
296256, 295mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `
 a )  <_ 
1 )
297296ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ZZ  ( F `  a )  <_  1 )
298297ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  A. a  e.  ZZ  ( F `  a )  <_  1
)
299 rsp 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A. a  e.  ZZ  ( F `  a )  <_  1  ->  ( a  e.  ZZ  ->  ( F `  a )  <_  1
) )
300298, 204, 299sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  a )  <_  1 )
301269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  1  e.  RR )
302166ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  k  e.  ZZ )
30319ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  0  <  ( F `  P
) )
304 expgt0 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  RR  /\  k  e.  ZZ  /\  0  <  ( F `  P
) )  ->  0  <  ( ( F `  P ) ^ k
) )
305249, 302, 303, 304syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  0  <  ( ( F `  P ) ^ k
) )
306 lemul2 9863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F `  a
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( ( F `  P ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( F `
 P ) ^
k ) ) )  ->  ( ( F `
 a )  <_ 
1  <->  ( ( ( F `  P ) ^ k )  x.  ( F `  a
) )  <_  (
( ( F `  P ) ^ k
)  x.  1 ) ) )
307252, 301, 250, 305, 306syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  a
)  <_  1  <->  ( (
( F `  P
) ^ k )  x.  ( F `  a ) )  <_ 
( ( ( F `
 P ) ^
k )  x.  1 ) ) )
308300, 307mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  P ) ^ k
)  x.  ( F `
 a ) )  <_  ( ( ( F `  P ) ^ k )  x.  1 ) )
309250recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  P
) ^ k )  e.  CC )
310309mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  P ) ^ k
)  x.  1 )  =  ( ( F `
 P ) ^
k ) )
311308, 310breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  P ) ^ k
)  x.  ( F `
 a ) )  <_  ( ( F `
 P ) ^
k ) )
312149rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  S  e.  RR )
313312adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  S  e.  RR )
314146adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  P )  e.  RR+ )
315314rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  0  <_  ( F `  P
) )
316179adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  p  e.  NN )
317316, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  p  e.  QQ )
318200, 317, 140syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  p )  e.  RR )
319 max1 10773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  RR  /\  ( F `  p )  e.  RR )  -> 
( F `  P
)  <_  if (
( F `  P
)  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) ) )
320249, 318, 319syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  P )  <_  if ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  p
) ,  ( F `
 p ) ,  ( F `  P
) ) )
321320, 138syl6breqr 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  P )  <_  S )
322 leexp1a 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( F `  P )  /\  ( F `  P
)  <_  S )
)  ->  ( ( F `  P ) ^ k )  <_ 
( S ^ k
) )
323249, 313, 244, 315, 321, 322syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  P
) ^ k )  <_  ( S ^
k ) )
324253, 250, 229, 311, 323letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  P ) ^ k
)  x.  ( F `
 a ) )  <_  ( S ^
k ) )
325248, 324eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( ( P ^ k )  x.  a ) )  <_ 
( S ^ k
) )
32611, 13, 240abvmul 15917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( p ^ k
)  e.  QQ  /\  b  e.  QQ )  ->  ( F `  (
( p ^ k
)  x.  b ) )  =  ( ( F `  ( p ^ k ) )  x.  ( F `  b ) ) )
327200, 211, 214, 326syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( (
p ^ k )  x.  b ) )  =  ( ( F `
 ( p ^
k ) )  x.  ( F `  b
) ) )
32812, 11qabvexp 21320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F  e.  A  /\  p  e.  QQ  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( p ^ k ) )  =  ( ( F `
 p ) ^
k ) )
329200, 317, 244, 328syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( p ^ k ) )  =  ( ( F `
 p ) ^
k ) )
330329oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  (
p ^ k ) )  x.  ( F `
 b ) )  =  ( ( ( F `  p ) ^ k )  x.  ( F `  b
) ) )
331327, 330eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( (
p ^ k )  x.  b ) )  =  ( ( ( F `  p ) ^ k )  x.  ( F `  b
) ) )
332318, 244reexpcld 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  p
) ^ k )  e.  RR )
33311, 13abvcl 15912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F  e.  A  /\  b  e.  QQ )  ->  ( F `  b
)  e.  RR )
334200, 214, 333syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
335332, 334remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  p ) ^ k
)  x.  ( F `
 b ) )  e.  RR )
336 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
337336breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  a
)  <_  1  <->  ( F `  b )  <_  1
) )
338337rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  e.  ZZ  ->  ( A. a  e.  ZZ  ( F `  a )  <_  1  ->  ( F `  b )  <_  1 ) )
339212, 298, 338sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  b )  <_  1 )
340316nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  p  =/=  0 )
341200, 317, 340, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  0  <  ( F `  p
) )
342 expgt0 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  RR  /\  k  e.  ZZ  /\  0  <  ( F `  p
) )  ->  0  <  ( ( F `  p ) ^ k
) )
343318, 302, 341, 342syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  0  <  ( ( F `  p ) ^ k
) )
344 lemul2 9863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F `  b
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( ( F `  p ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( F `
 p ) ^
k ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  <_ 
1  <->  ( ( ( F `  p ) ^ k )  x.  ( F `  b
) )  <_  (
( ( F `  p ) ^ k
)  x.  1 ) ) )
345334, 301, 332, 343, 344syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  b
)  <_  1  <->  ( (
( F `  p
) ^ k )  x.  ( F `  b ) )  <_ 
( ( ( F `
 p ) ^
k )  x.  1 ) ) )
346339, 345mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  p ) ^ k
)  x.  ( F `
 b ) )  <_  ( ( ( F `  p ) ^ k )  x.  1 ) )
347332recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  p
) ^ k )  e.  CC )
348347mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  p ) ^ k
)  x.  1 )  =  ( ( F `
 p ) ^
k ) )
349346, 348breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  p ) ^ k
)  x.  ( F `
 b ) )  <_  ( ( F `
 p ) ^
k ) )
350145adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  p )  e.  RR+ )
351350rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  0  <_  ( F `  p
) )
352 max2 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  RR  /\  ( F `  p )  e.  RR )  -> 
( F `  p
)  <_  if (
( F `  P
)  <_  ( F `  p ) ,  ( F `  p ) ,  ( F `  P ) ) )
353249, 318, 352syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  p )  <_  if ( ( F `
 P )  <_ 
( F `  p
) ,  ( F `
 p ) ,  ( F `  P
) ) )
354353, 138syl6breqr 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  p )  <_  S )
355 leexp1a 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F `  p )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( F `  p )  /\  ( F `  p
)  <_  S )
)  ->  ( ( F `  p ) ^ k )  <_ 
( S ^ k
) )
356318, 313, 244, 351, 354, 355syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  p
) ^ k )  <_  ( S ^
k ) )
357335, 332, 229, 349, 356letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( F `  p ) ^ k
)  x.  ( F `
 b ) )  <_  ( S ^
k ) )
358331, 357eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( (
p ^ k )  x.  b ) )  <_  ( S ^
k ) )
359222, 224, 229, 229, 325, 358le2addd 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  (
( P ^ k
)  x.  a ) )  +  ( F `
 ( ( p ^ k )  x.  b ) ) )  <_  ( ( S ^ k )  +  ( S ^ k
) ) )
360227rpcnd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S ^ k )  e.  CC )
3613602timesd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( S ^ k ) )  =  ( ( S ^ k )  +  ( S ^ k
) ) )
362361adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
2  x.  ( S ^ k ) )  =  ( ( S ^ k )  +  ( S ^ k
) ) )
363359, 362breqtrrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( F `  (
( P ^ k
)  x.  a ) )  +  ( F `
 ( ( p ^ k )  x.  b ) ) )  <_  ( 2  x.  ( S ^ k
) ) )
364220, 225, 231, 237, 363letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  ( F `  ( (
( P ^ k
)  x.  a )  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) ) )  <_  ( 2  x.  ( S ^ k
) ) )
365 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  =  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^
k )  x.  b
) )  ->  ( F `  1 )  =  ( F `  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^ k
)  x.  b ) ) ) )
366365breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  =  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^
k )  x.  b
) )  ->  (
( F `  1
)  <_  ( 2  x.  ( S ^
k ) )  <->  ( F `  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^ k
)  x.  b ) ) )  <_  (
2  x.  ( S ^ k ) ) ) )
367364, 366syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
1  =  ( ( ( P ^ k
)  x.  a )  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) )  -> 
( F `  1
)  <_  ( 2  x.  ( S ^
k ) ) ) )
368199, 367sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
) )  ->  (
( ( P ^
k )  gcd  (
p ^ k ) )  =  ( ( ( P ^ k
)  x.  a )  +  ( ( p ^ k )  x.  b ) )  -> 
( F `  1
)  <_  ( 2  x.  ( S ^
k ) ) ) )
369368anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( P ^ k
)  gcd  ( p ^ k ) )  =  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^
k )  x.  b
) )  ->  ( F `  1 )  <_  ( 2  x.  ( S ^ k ) ) ) )
370369rexlimdvva 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( P ^ k
)  gcd  ( p ^ k ) )  =  ( ( ( P ^ k )  x.  a )  +  ( ( p ^
k )  x.  b
) )  ->  ( F `  1 )  <_  ( 2  x.  ( S ^ k ) ) ) )
371184, 370mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  <_  ( 2  x.  ( S ^ k ) ) )
372173, 371eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  1  <_  ( 2  x.  ( S ^ k ) ) )
373227rpregt0d 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( S ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( S ^
k ) ) )
374 ledivmul2 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
( S ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( S ^
k ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( S ^
k ) )  <_ 
2  <->  1  <_  (
2  x.  ( S ^ k ) ) ) )
375269, 136, 374mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( S ^
k ) )  -> 
( ( 1  / 
( S ^ k
) )  <_  2  <->  1  <_  ( 2  x.  ( S ^ k
) ) ) )
376373, 375syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  ( S ^ k ) )  <_  2  <->  1  <_  ( 2  x.  ( S ^ k ) ) ) )
377372, 376mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( S ^ k ) )  <_  2 )
378168, 377eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  S
) ^ k )  <_  2 )
379 reexpcl 11398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  /  S
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  S ) ^ k
)  e.  RR )
380150, 175, 379syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  S
) ^ k )  e.  RR )
381 lenlt 9154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 1  /  S ) ^ k
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  S ) ^
k )  <_  2  <->  -.  2  <  ( ( 1  /  S ) ^ k ) ) )
382380, 136, 381sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  /  S ) ^ k
)  <_  2  <->  -.  2  <  ( ( 1  /  S ) ^ k
) ) )
383378, 382mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  2  <  ( ( 1  /  S ) ^
k ) )
384383pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p
)  <  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  <  ( (
1  /  S ) ^ k )  ->  -.  ( F `  p
)  <  1 ) )
385384rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  -> 
( E. k  e.  NN  2  <  (
( 1  /  S
) ^ k )  ->  -.  ( F `  p )  <  1
) )
386161, 385mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( P  =/=  p  /\  ( F `  p )  <  1 ) )  ->  -.  ( F `  p
)  <  1 )
387386expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
( F `  p
)  <  1  ->  -.  ( F `  p
)  <  1 ) )
388387pm2.01d 163 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  -.  ( F `  p )  <  1 )
389265ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  A. n  e.  NN  -.  1  < 
( F `  n
) )
390 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  ( F `  n )  =  ( F `  p ) )
391390breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  (
1  <  ( F `  n )  <->  1  <  ( F `  p ) ) )
392391notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  p  ->  ( -.  1  <  ( F `
 n )  <->  -.  1  <  ( F `  p
) ) )
393392rspcv 3048 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  -.  1  <  ( F `
 n )  ->  -.  1  <  ( F `
 p ) ) )
394103, 389, 393sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  -.  1  <  ( F `  p ) )
395 lttri3 9158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( F `  p )  =  1  <-> 
( -.  ( F `
 p )  <  1  /\  -.  1  <  ( F `  p
) ) ) )
396141, 269, 395sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
( F `  p
)  =  1  <->  ( -.  ( F `  p
)  <  1  /\  -.  1  <  ( F `
 p ) ) ) )
397388, 394, 396mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( F `  p )  =  1 )
398112, 135, 3973eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  (
( ( J `  P ) `  p
)  ^ c  R
)  =  ( F `
 p ) )
399110, 398eqtr2d 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  P  =/=  p )  ->  ( F `  p )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P
) `  y )  ^ c  R )
) `  p )
)
400399ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( P  =/=  p  ->  ( F `  p )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  p ) ) )
401101, 400pm2.61dne 2681 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( F `  p )  =  ( ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `
 P ) `  y )  ^ c  R ) ) `  p ) )
40212, 11, 2, 48, 401ostthlem2 21322 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P
) `  y )  ^ c  R )
) )
403 oveq2 6089 . . . . 5  |-  ( a  =  R  ->  (
( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  a )  =  ( ( ( J `  P
) `  y )  ^ c  R )
)
404403mpteq2dv 4296 . . . 4  |-  ( a  =  R  ->  (
y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  a ) )  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `  y
)  ^ c  R
) ) )
405404eqeq2d 2447 . . 3  |-  ( a  =  R  ->  ( F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `
 y )  ^ c  a ) )  <-> 
F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P
) `  y )  ^ c  R )
) ) )
406405rspcev 3052 . 2  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `
 y )  ^ c  R ) ) )  ->  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
40745, 402, 406syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  F  =  ( y  e.  QQ  |->  ( ( ( J `  P ) `
 y )  ^ c  a ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   QQcq 10574   RR+crp 10612   ^cexp 11382   expce 12664    || cdivides 12852    gcd cgcd 13006   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210   ↾s cress 13470   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   inv gcminusg 14686  AbsValcabv 15904  ℂfldccnfld 16703   logclog 20452    ^ c ccxp 20453
This theorem is referenced by:  ostth  21333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665