HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  osumi Unicode version

Theorem osumi 22335
Description: If two closed subspaces of a Hilbert space are orthogonal, their subspace sum equals their subspace join. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 67. Note that the (countable) Axiom of Choice is used for this proof via pjhth 22086, although "the hard part" of this proof, chscl 22334, requires no choice. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osum.1  |-  A  e. 
CH
osum.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
osumi  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B ) )

Proof of Theorem osumi
StepHypRef Expression
1 osum.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21a1i 10 . . 3  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  A  e.  CH )
3 osum.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43a1i 10 . . 3  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  B  e.  CH )
51, 3chsscon2i 22156 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  <->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
65biimpi 186 . . 3  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  B  C_  ( _|_ `  A ) )
72, 4, 6chscl 22334 . 2  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  +H  B )  e.  CH )
81chshii 21921 . . 3  |-  A  e.  SH
93chshii 21921 . . 3  |-  B  e.  SH
108, 9shjshseli 22186 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  e.  CH  <->  ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B ) )
117, 10sylib 188 1  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CHcch 21623   _|_cort 21624    +H cph 21625    vH chj 21627
This theorem is referenced by:  osumcori  22336  osumcor2i  22337  osum  22338  spansnji  22339  5oai  22354  3oalem5  22359  pjsumi  22403  pjdsi  22405  pjds3i  22406  pjssumi  22865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvmulass 21701  ax-hvdistr1 21702  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777  ax-his4 21778  ax-hcompl 21895
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-lm 17065  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cfil 18785  df-cau 18786  df-cmet 18787  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-gdiv 20973  df-ablo 21061  df-subgo 21081  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-vs 21269  df-nmcv 21270  df-ims 21271  df-dip 21388  df-ssp 21412  df-ph 21505  df-cbn 21556  df-hnorm 21662  df-hba 21663  df-hvsub 21665  df-hlim 21666  df-hcau 21667  df-sh 21900  df-ch 21915  df-oc 21945  df-ch0 21946  df-shs 22001  df-chj 22003  df-pjh 22088
  Copyright terms: Public domain W3C validator