Theorem osumlem5 9577

Description: Lemma for osum 9581.

Hypotheses

Ref	Expression
osumlem5.1	|- A e. CH
osumlem5.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
osumlem5	|- (H:NN-->(A +H B) -> E.fE.g((f:NN-->A /\ g:NN-->B) /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))))

Distinct variable groups:   w,f,g,A   w,B,f,g   w,H,f,g

Proof of Theorem osumlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. . . . 5 |- ((H:NN-->(A +H B) /\ w e. NN) -> (H` w) e. (A +H B))
2	1	ex 373	. . . 4 |- (H:NN-->(A +H B) -> (w e. NN -> (H` w) e. (A +H B)))
3		osumlem5.1	. . . . . 6 |- A e. CH
4	3	chshi 9092	. . . . 5 |- A e. SH
5		osumlem5.2	. . . . . 6 |- B e. CH
6	5	chshi 9092	. . . . 5 |- B e. SH
7	4, 6	shsel 9275	. . . 4 |- ((H` w) e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B (H` w) = (x +h y))
8	2, 7	syl6ib 212	. . 3 |- (H:NN-->(A +H B) -> (w e. NN -> E.x e. A E.y e. B (H` w) = (x +h y)))
9	8	r19.21aiv 1716	. 2 |- (H:NN-->(A +H B) -> A.w e. NN E.x e. A E.y e. B (H` w) = (x +h y))
10		nnex 5935	. . 3 |- NN e. V
11	3	elisseti 1821	. . 3 |- A e. V
12		opreq1 3974	. . . . 5 |- (x = (f` w) -> (x +h y) = ((f` w) +h y))
13	12	eqeq2d 1489	. . . 4 |- (x = (f` w) -> ((H` w) = (x +h y) <-> (H` w) = ((f` w) +h y)))
14	13	rexbidv 1667	. . 3 |- (x = (f` w) -> (E.y e. B (H` w) = (x +h y) <-> E.y e. B (H` w) = ((f` w) +h y)))
15	10, 11, 14	ac6 4765	. 2 |- (A.w e. NN E.x e. A E.y e. B (H` w) = (x +h y) -> E.f(f:NN-->A /\ A.w e. NN E.y e. B (H` w) = ((f` w) +h y)))
16	5	elisseti 1821	. . . . . 6 |- B e. V
17		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (y = (g` w) -> ((f` w) +h y) = ((f` w) +h (g` w)))
18	17	eqeq2d 1489	. . . . . 6 |- (y = (g` w) -> ((H` w) = ((f` w) +h y) <-> (H` w) = ((f` w) +h (g` w))))
19	10, 16, 18	ac6 4765	. . . . 5 |- (A.w e. NN E.y e. B (H` w) = ((f` w) +h y) -> E.g(g:NN-->B /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))))
20	19	anim2i 335	. . . 4 |- ((f:NN-->A /\ A.w e. NN E.y e. B (H` w) = ((f` w) +h y)) -> (f:NN-->A /\ E.g(g:NN-->B /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w)))))
21		anass 441	. . . . . 6 |- (((f:NN-->A /\ g:NN-->B) /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))) <-> (f:NN-->A /\ (g:NN-->B /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w)))))
22	21	exbii 1053	. . . . 5 |- (E.g((f:NN-->A /\ g:NN-->B) /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))) <-> E.g(f:NN-->A /\ (g:NN-->B /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w)))))
23		19.42v 1310	. . . . 5 |- (E.g(f:NN-->A /\ (g:NN-->B /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w)))) <-> (f:NN-->A /\ E.g(g:NN-->B /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w)))))
24	22, 23	bitr 173	. . . 4 |- (E.g((f:NN-->A /\ g:NN-->B) /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))) <-> (f:NN-->A /\ E.g(g:NN-->B /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w)))))
25	20, 24	sylibr 200	. . 3 |- ((f:NN-->A /\ A.w e. NN E.y e. B (H` w) = ((f` w) +h y)) -> E.g((f:NN-->A /\ g:NN-->B) /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))))
26	25	19.22i 1042	. 2 |- (E.f(f:NN-->A /\ A.w e. NN E.y e. B (H` w) = ((f` w) +h y)) -> E.fE.g((f:NN-->A /\ g:NN-->B) /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))))
27	9, 15, 26	3syl 20	1 |- (H:NN-->(A +H B) -> E.fE.g((f:NN-->A /\ g:NN-->B) /\ A.w e. NN (H` w) = ((f` w) +h (g` w))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  NNcn 5308   +h cva 8784  CHcch 8793   +H cph 8795

This theorem is referenced by:  osumlem6 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-n 5927  df-sh 9071  df-ch 9087  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain