Theorem oteqex 2805

Description: Equivalence of existence implied by equality of ordered triples.

Assertion

Ref	Expression
oteqex	|- (<.<.A, B>., C>. = <.<.R, S>., T>. -> (A e. V <-> R e. V))

Proof of Theorem oteqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2788	. . 3 |- <.A, B>. e. V
2	1	opth1 2792	. 2 |- (<.<.A, B>., C>. = <.<.R, S>., T>. -> <.A, B>. = <.R, S>.)
3		opeqex 2804	. 2 |- (<.A, B>. = <.R, S>. -> (A e. V <-> R e. V))
4	2, 3	syl 10	1 |- (<.<.A, B>., C>. = <.<.R, S>., T>. -> (A e. V <-> R e. V))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  <.cop 2415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420

Copyright terms: Public domain