Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  otiunsndisj Unicode version

Theorem otiunsndisj 28002
Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
otiunsndisj  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. } )
Distinct variable groups:    B, a,
c    V, a, c    W, a, c    X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisj
Dummy variables  d 
e  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 375 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
21a1d 23 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  (
( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4089 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  <->  E. c  e.  ( W  \  {
a } ) s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } )
4 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
54adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
6 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  B  e.  X )
7 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  c  e.  ( W  \  {
a } ) )
8 otthg 28000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  V  /\  B  e.  X  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  ->  ( <. a ,  B ,  c
>.  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )
) )
95, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( <. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )
) )
10 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )  ->  a  =  d )
119, 10syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( <. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.  ->  a  =  d ) )
1211con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( -.  a  =  d  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
1312ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( W  \  { a } )  ->  ( ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( -.  a  =  d  ->  -. 
<. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) ) )
1413com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c  e.  ( W  \  { a } )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) ) )
1514imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  ( W  \  {
a } ) )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. )
18 elsn 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } 
<->  s  =  <. a ,  B ,  c >.
)
19 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  (
s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) )
2019notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2118, 20sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2221adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  -> 
( -.  s  = 
<. d ,  B , 
e >. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2417, 23mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. )
25 elsn 3821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  s  =  <. d ,  B ,  e >.
)
2624, 25sylnibr 297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  s  e.  { <. d ,  B ,  e
>. } )
2726nrexdv 2801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  E. e  e.  ( W  \  {
d } ) s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
28 eliun 4089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. }  <->  E. e  e.  ( W  \  {
d } ) s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
2927, 28sylnibr 297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } )
3029ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  ( W  \  {
a } ) )  ->  ( s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } ) )
3130rexlimdva 2822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( E. c  e.  ( W  \  {
a } ) s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } ) )
323, 31syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( s  e. 
U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c
>. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e
>. } ) )
3332ralrimiv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } )
34 oteq3 3987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  e  ->  <. d ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
3534sneqd 3819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  e  ->  { <. d ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  e
>. } )
3635cbviunv 4122 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  =  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. }
3736eleq2i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  <->  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } )
3837notbii 288 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  <->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e
>. } )
3938ralbii 2721 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. }  <->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } )
4033, 39sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )
41 disj 3660 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c
>. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) 
<-> 
A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )
4240, 41sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) )
4342olcd 383 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4443ex 424 . . . 4  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
452, 44pm2.61i 158 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4645ralrimivva 2790 . 2  |-  ( B  e.  X  ->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. } )  =  (/) ) )
47 sneq 3817 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  { a }  =  { d } )
4847difeq2d 3457 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  ( W  \  { a } )  =  ( W 
\  { d } ) )
49 oteq1 3985 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  c >. )
5049sneqd 3819 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  { <. a ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  c
>. } )
5148, 50iuneq12d 4109 . . 3  |-  ( a  =  d  ->  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  =  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )
5251disjor 4188 . 2  |-  (Disj  a  e.  V U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  <->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. } )  =  (/) ) )
5346, 52sylibr 204 1  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    i^i cin 3311   (/)c0 3620   {csn 3806   <.cotp 3810   U_ciun 4085  Disj wdisj 4174
This theorem is referenced by:  usgreghash2spotv  28313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-ot 3816  df-iun 4087  df-disj 4175
  Copyright terms: Public domain W3C validator