Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  otiunsndisj Structured version   Unicode version

Theorem otiunsndisj 28081
Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
otiunsndisj  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. } )
Distinct variable groups:    B, a,
c    V, a, c    W, a, c    X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisj
Dummy variables  d 
e  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 376 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
21a1d 24 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  (
( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4099 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  <->  E. c  e.  ( W  \  {
a } ) s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } )
4 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
54adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  a  e.  V )
6 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  B  e.  X )
7 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  c  e.  ( W  \  {
a } ) )
8 otthg 28079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( a  e.  V  /\  B  e.  X  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  ->  ( <. a ,  B ,  c
>.  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )
) )
95, 6, 7, 8syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( <. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )
) )
10 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )  ->  a  =  d )
119, 10syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( <. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.  ->  a  =  d ) )
1211con3d 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c  e.  ( W 
\  { a } )  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  ->  ( -.  a  =  d  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
1312ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( W  \  { a } )  ->  ( ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( -.  a  =  d  ->  -. 
<. a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) ) )
1413com13 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c  e.  ( W  \  { a } )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) ) )
1514imp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  ( W  \  {
a } ) )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
1615adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
1716adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. )
18 elsn 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } 
<->  s  =  <. a ,  B ,  c >.
)
19 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  (
s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) )
2019notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2118, 20sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2221adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2322adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  -> 
( -.  s  = 
<. d ,  B , 
e >. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2417, 23mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. )
25 elsn 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  s  =  <. d ,  B ,  e >.
)
2624, 25sylnibr 298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  /\  e  e.  ( W  \  { d } ) )  ->  -.  s  e.  { <. d ,  B ,  e
>. } )
2726nrexdv 2811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  E. e  e.  ( W  \  {
d } ) s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
28 eliun 4099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. }  <->  E. e  e.  ( W  \  {
d } ) s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
2927, 28sylnibr 298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  ( W  \  { a } ) )  /\  s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } )
3029ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  ( W  \  {
a } ) )  ->  ( s  e. 
{ <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } ) )
3130rexlimdva 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( E. c  e.  ( W  \  {
a } ) s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } ) )
323, 31syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( s  e. 
U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c
>. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e
>. } ) )
3332ralrimiv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } )
34 oteq3 3997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  e  ->  <. d ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
3534sneqd 3829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  e  ->  { <. d ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  e
>. } )
3635cbviunv 4132 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  =  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. }
3736eleq2i 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  <->  s  e.  U_ e  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  e >. } )
3837notbii 289 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. }  <->  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  e
>. } )
3938ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. }  <->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
e >. } )
4033, 39sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )
41 disj 3670 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c
>. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) 
<-> 
A. s  e.  U_  c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  ( W  \  {
d } ) {
<. d ,  B , 
c >. } )
4240, 41sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) )
4342olcd 384 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W 
\  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4443ex 425 . . . 4  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
452, 44pm2.61i 159 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4645ralrimivva 2800 . 2  |-  ( B  e.  X  ->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. } )  =  (/) ) )
47 sneq 3827 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  { a }  =  { d } )
4847difeq2d 3467 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  ( W  \  { a } )  =  ( W 
\  { d } ) )
49 oteq1 3995 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  c >. )
5049sneqd 3829 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  { <. a ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  c
>. } )
5148, 50iuneq12d 4119 . . 3  |-  ( a  =  d  ->  U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  =  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c >. } )
5251disjor 4199 . 2  |-  (Disj  a  e.  V U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. }  <->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  ( W  \  { a } ) { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  ( W  \  { d } ) { <. d ,  B ,  c
>. } )  =  (/) ) )
5346, 52sylibr 205 1  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V U_ c  e.  ( W  \  {
a } ) {
<. a ,  B , 
c >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    i^i cin 3321   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cotp 3820   U_ciun 4095  Disj wdisj 4185
This theorem is referenced by:  usgreghash2spotv  28529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-ot 3826  df-iun 4097  df-disj 4186
  Copyright terms: Public domain W3C validator