Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  outsidele Unicode version

Theorem outsidele 24827
 Description: Relate OutsideOf to . Theorem 6.13 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Scott Fenton, 24-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
outsidele OutsideOf

Proof of Theorem outsidele
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . 6
2 simpr1 961 . . . . . 6
3 simpr2 962 . . . . . 6
4 simpr3 963 . . . . . 6
5 brsegle2 24804 . . . . . 6 Cgr
61, 2, 3, 2, 4, 5syl122anc 1191 . . . . 5 Cgr
76adantr 451 . . . 4 OutsideOf Cgr
8 simprl 732 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr OutsideOf
9 outsideofcom 24823 . . . . . . . . . . . 12 OutsideOf OutsideOf
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr OutsideOf OutsideOf
118, 10mpbid 201 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr OutsideOf
12 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12
13 simplr1 997 . . . . . . . . . . . 12
14 simplr3 999 . . . . . . . . . . . 12
1512, 13, 14cgrrflxd 24683 . . . . . . . . . . 11 Cgr
1615adantr 451 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr Cgr
1711, 16jca 518 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
18 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12 OutsideOf Cgr
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
20 simplr2 998 . . . . . . . . . . . . . 14
21 btwncolinear1 24764 . . . . . . . . . . . . . 14
2212, 13, 19, 20, 21syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 OutsideOf Cgr
2418, 23mpd 14 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr
25 outsidene1 24818 . . . . . . . . . . . . . . 15 OutsideOf
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 OutsideOf Cgr OutsideOf
278, 26mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13 OutsideOf Cgr
2827neneqd 2475 . . . . . . . . . . . 12 OutsideOf Cgr
29 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . 14 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
30 simpr2l 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 OutsideOf Cgr
3112, 20, 13, 19, 30btwncomand 24710 . . . . . . . . . . . . . . 15 OutsideOf Cgr
32 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . 15 OutsideOf Cgr
33 btwnswapid2 24713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3412, 20, 19, 13, 33syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 OutsideOf Cgr
3631, 32, 35mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . 14 OutsideOf Cgr
3729, 36sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . 13 OutsideOf Cgr
3837expr 598 . . . . . . . . . . . 12 OutsideOf Cgr
3928, 38mtod 168 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr
40 broutsideof 24816 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf
4124, 39, 40sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr OutsideOf
42 simprrr 741 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr Cgr
4341, 42jca 518 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
44 outsideofeq 24825 . . . . . . . . . . 11 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
4512, 13, 20, 13, 14, 14, 19, 44syl133anc 1205 . . . . . . . . . 10 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
4645adantr 451 . . . . . . . . 9 OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr OutsideOf Cgr
4717, 43, 46mp2and 660 . . . . . . . 8 OutsideOf Cgr
48 opeq2 3813 . . . . . . . . . 10
4948breq2d 4051 . . . . . . . . 9
5018, 49syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8 OutsideOf Cgr
5147, 50mpd 14 . . . . . . 7 OutsideOf Cgr
5251an4s 799 . . . . . 6 OutsideOf Cgr
5352exp32 588 . . . . 5 OutsideOf Cgr
5453rexlimdv 2679 . . . 4 OutsideOf Cgr
557, 54sylbid 206 . . 3 OutsideOf
56 btwnsegle 24812 . . . 4
5756adantr 451 . . 3 OutsideOf
5855, 57impbid 183 . 2 OutsideOf
5958ex 423 1 OutsideOf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wrex 2557  cop 3656   class class class wbr 4039  cfv 5271  cn 9762  cee 24588   cbtwn 24589  Cgrccgr 24590   ccolin 24732   csegle 24801  OutsideOfcoutsideof 24814 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-ee 24591  df-btwn 24592  df-cgr 24593  df-ofs 24678  df-ifs 24734  df-cgr3 24735  df-colinear 24736  df-fs 24737  df-segle 24802  df-outsideof 24815
 Copyright terms: Public domain W3C validator