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Theorem ovolicc2 19456
Description: The measure of a closed interval is upper bounded by its length. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ovolicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ovolicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ovolicc2.m  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
Assertion
Ref Expression
ovolicc2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y    y, M    ph, f, y
Allowed substitution hint:    M( f)

Proof of Theorem ovolicc2
Dummy variables  g 
k  t  u  v  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.m . . . . . 6  |-  M  =  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) }
21elovolm 19409 . . . . 5  |-  ( z  e.  M  <->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
3 ioof 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 dffn3 5633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* ) 
<->  (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,) )
75, 6mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ran  (,)
8 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 reex 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR  e.  _V
109, 9xpex 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1110inex2 4380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
12 nnex 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  e.  _V
1311, 12elmap 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
148, 13sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
15 inss2 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR  X.  RR )
16 ressxr 9167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
17 xpss12 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( RR  C_  RR*  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( RR  X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
1816, 16, 17mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
X.  RR )  C_  ( RR*  X.  RR* )
1915, 18sstri 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* )
20 fss 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  C_  ( RR*  X.  RR* ) )  -> 
f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )
2114, 19, 20sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  f : NN --> ( RR*  X.  RR* ) )
22 fco 5635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (,) : ( RR*  X. 
RR* ) --> ran  (,)  /\  f : NN --> ( RR*  X. 
RR* ) )  -> 
( (,)  o.  f
) : NN --> ran  (,) )
237, 21, 22sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
2423adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,) )
25 frn 5632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ran  ( (,)  o.  f )  C_  ran  (,) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ran  (,) )
27 retopbas 18832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
28 bastg 17069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
3026, 29syl6ss 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f ) 
C_  ( topGen `  ran  (,) ) )
31 fvex 5773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  _V
3231elpw2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  <->  ran  ( (,)  o.  f
)  C_  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3330, 32sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  e.  ~P ( topGen ` 
ran  (,) ) )
34 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
35 ovolicc.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
36 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
3836, 37icccmp 18894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
3934, 35, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
40 retop 18833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
41 iccssre 11030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4234, 35, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
43 uniretop 18834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4443cmpsub 17501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4540, 42, 44sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
4639, 45mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) )
( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) )
4746adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  A. u  e.  ~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
48 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f ) )
49 unieq 4053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  U. u  =  U. ran  ( (,)  o.  f
) )
5049sseq2d 3365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( A [,] B )  C_  U. u  <->  ( A [,] B ) 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  f ) ) )
51 pweq 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  ->  ~P u  =  ~P ran  ( (,)  o.  f
) )
5251ineq1d 3530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ~P u  i^i 
Fin )  =  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) )
5352rexeqdv 2918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) )
5450, 53imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ran  ( (,) 
o.  f )  -> 
( ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  <->  ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v ) ) )
5554rspcv 3057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( (,)  o.  f
)  e.  ~P ( topGen `
 ran  (,) )  ->  ( A. u  e. 
~P  ( topGen `  ran  (,) ) ( ( A [,] B )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v
) ) )
5633, 47, 48, 55syl3c 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v )
57 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
58 elin 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f )  /\  v  e.  Fin )
)
5957, 58sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
v  e.  ~P ran  ( (,)  o.  f )  /\  v  e.  Fin ) )
6059simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  Fin )
6159simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  e.  ~P ran  ( (,) 
o.  f ) )
6261elpwid 3837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  v  C_ 
ran  ( (,)  o.  f ) )
6362sseld 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  -> 
t  e.  ran  ( (,)  o.  f ) ) )
64 ffn 5626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (,)  o.  f ) : NN --> ran  (,)  ->  ( (,)  o.  f
)  Fn  NN )
6523, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( (,)  o.  f )  Fn  NN )
67 fvelrnb 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (,)  o.  f )  Fn  NN  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  ran  ( (,)  o.  f )  <->  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t ) )
6963, 68sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
t  e.  v  ->  E. k  e.  NN  ( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t ) )
7069ralrimiv 2795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  ( ( (,) 
o.  f ) `  k )  =  t )
71 fveq2 5763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  ( ( (,) 
o.  f ) `  ( g `  t
) ) )
7271eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( g `  t )  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  k
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7372ac6sfi 7387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. t  e.  v  E. k  e.  NN  (
( (,)  o.  f
) `  k )  =  t )  ->  E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t ) )
7460, 70, 73syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  E. g
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t ) )
7534ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  e.  RR )
7635ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  B  e.  RR )
77 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
7877ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A  <_  B )
79 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
8014adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  f : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
81 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i 
Fin ) )
82 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  U. v )
83 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  g : v --> NN )
84 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )
85 fveq2 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  x  ->  (
g `  t )  =  ( g `  x ) )
8685fveq2d 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
) )
87 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  x  ->  t  =  x )
8886, 87eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  <->  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  x
) )  =  x ) )
8988rspccva 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t  /\  x  e.  v )  ->  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  x )
)  =  x )
9084, 89sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  x ) )  =  x )
91 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }  =  { u  e.  v  |  (
u  i^i  ( A [,] B ) )  =/=  (/) }
9275, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 90, 91ovolicc2lem5 19455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
( v  e.  ( ~P ran  ( (,) 
o.  f )  i^i 
Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v )  /\  (
g : v --> NN 
/\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  (
g `  t )
)  =  t ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9392expr 600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  (
( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  ( ( (,)  o.  f ) `  ( g `  t
) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9493exlimdv 1648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( E. g ( g : v --> NN  /\  A. t  e.  v  (
( (,)  o.  f
) `  ( g `  t ) )  =  t )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9574, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  (
v  e.  ( ~P
ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin )  /\  ( A [,] B )  C_  U. v
) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
9695rexlimdvaa 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9796adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P ran  ( (,)  o.  f )  i^i  Fin ) ( A [,] B )  C_  U. v  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9856, 97mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )
99 breq2 4247 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( ( B  -  A )  <_  z  <->  ( B  -  A )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
10098, 99syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f ) ) )  ->  (
z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
101100expr 600 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( A [,] B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  -> 
( z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
) )
102101imp3a 422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  (
( ( A [,] B )  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  ( B  -  A )  <_  z
) )
103102rexlimdva 2837 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  z  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( B  -  A
)  <_  z )
)
1042, 103syl5bi 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  M  ->  ( B  -  A
)  <_  z )
)
105104ralrimiv 2795 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
106 ssrab2 3417 . . . . 5  |-  { y  e.  RR*  |  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A [,] B )  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  y  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) ) ,  RR* ,  <  ) ) } 
C_  RR*
1071, 106eqsstri 3367 . . . 4  |-  M  C_  RR*
10835, 34resubcld 9503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
109108rexrd 9172 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
110 infmxrgelb 10951 . . . 4  |-  ( ( M  C_  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
111107, 109, 110sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. z  e.  M  ( B  -  A
)  <_  z )
)
112105, 111mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
1131ovolval 19408 . . 3  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  )
)
11442, 113syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  sup ( M ,  RR* ,  `'  <  ) )
115112, 114breqtrrd 4269 1  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  ( vol * `
 ( A [,] B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712   E.wrex 2713   {crab 2716    i^i cin 3308    C_ wss 3309   (/)c0 3616   ~Pcpw 3828   U.cuni 4044   class class class wbr 4243    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   ran crn 4914    o. ccom 4917    Fn wfn 5484   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    ^m cmap 7054   Fincfn 7145   supcsup 7481   RRcr 9027   1c1 9029    + caddc 9031   RR*cxr 9157    < clt 9158    <_ cle 9159    - cmin 9329   NNcn 10038   (,)cioo 10954   [,]cicc 10957    seq cseq 11361   abscabs 12077   ↾t crest 13686   topGenctg 13703   Topctop 16996   TopBasesctb 17000   Compccmp 17487   vol *covol 19397
This theorem is referenced by:  ovolicc  19457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-ioo 10958  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-sum 12518  df-rest 13688  df-topgen 13705  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-cmp 17488  df-ovol 19399
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