MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolioo Structured version   Unicode version

Theorem ovolioo 19462
Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolioo  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )

Proof of Theorem ovolioo
StepHypRef Expression
1 ioombl 19459 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 mblvol 19426 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol * `  ( A (,) B
) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( vol `  ( A (,) B
) )  =  ( vol * `  ( A (,) B ) )
4 iccmbl 19460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  dom  vol )
5 mblvol 19426 . . . . 5  |-  ( ( A [,] B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B
) ) )
763adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol * `  ( A [,] B ) ) )
81a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  e. 
dom  vol )
9 prssi 3954 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
1093adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
11 prfi 7381 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  e.  Fin
12 ovolfi 19390 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
1311, 10, 12sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
14 nulmbl 19430 . . . . . 6  |-  ( ( { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
1510, 13, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  { A ,  B }  e.  dom  vol )
16 df-pr 3821 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1716ineq2i 3539 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )
18 indi 3587 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) B )  i^i  ( { A }  u.  { B } ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i 
{ A } )  u.  ( ( A (,) B )  i^i 
{ B } ) )
1917, 18eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  i^i  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )
20 simp1 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
2120ltnrd 9207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  <  A )
22 eliooord 10970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  A  /\  A  <  B ) )
2322simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  A )
2421, 23nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
25 disjsn 3868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  ( A (,) B ) )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A } )  =  (/) )
27 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2827ltnrd 9207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  <  B )
29 eliooord 10970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  B  /\  B  <  B ) )
3029simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( A (,) B )  ->  B  <  B )
3128, 30nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
32 disjsn 3868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( A (,) B ) )
3331, 32sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { B } )  =  (/) )
3426, 33uneq12d 3502 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
35 un0 3652 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3634, 35syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( ( A (,) B )  i^i  { A } )  u.  (
( A (,) B
)  i^i  { B } ) )  =  (/) )
3719, 36syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  { A ,  B } )  =  (/) )
38 ioossicc 10996 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
40 iccssre 10992 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41403adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
42 ovolicc 19419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  =  ( B  -  A ) )
4327, 20resubcld 9465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
4442, 43eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A [,] B ) )  e.  RR )
45 ovolsscl 19382 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( A [,] B
) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( A (,) B
) )  e.  RR )
4639, 41, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
473, 46syl5eqel 2520 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
48 mblvol 19426 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  B }  e.  dom  vol  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol * `  { A ,  B }
) )
4915, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  ( vol * `  { A ,  B }
) )
5049, 13eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  =  0 )
51 0re 9091 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5250, 51syl6eqel 2524 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  { A ,  B } )  e.  RR )
53 volun 19439 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A (,) B )  e.  dom  vol 
/\  { A ,  B }  e.  dom  vol 
/\  ( ( A (,) B )  i^i 
{ A ,  B } )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A (,) B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  { A ,  B }
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
548, 15, 37, 47, 52, 53syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) ) )
55 rexr 9130 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
56 rexr 9130 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
57 id 20 . . . . . 6  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
58 prunioo 11025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
5955, 56, 57, 58syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
6059fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )  =  ( vol `  ( A [,] B ) ) )
6150oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( ( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 ) )
6247recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  CC )
6362addid1d 9266 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  0 )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6461, 63eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  (
( vol `  ( A (,) B ) )  +  ( vol `  { A ,  B }
) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
6554, 60, 643eqtr3d 2476 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A [,] B ) )  =  ( vol `  ( A (,) B ) ) )
667, 65, 423eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
673, 66syl5eqr 2482 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol * `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   vol *covol 19359   volcvol 19360
This theorem is referenced by:  ovolfs2  19463  ioorcl2  19464  uniioovol  19471  uniioombllem2  19475  uniioombllem3a  19476  uniioombllem4  19478  uniioombllem6  19480  ftc1lem4  19923  itg2gt0cn  26260  ftc1cnnclem  26278  ftc1anclem7  26286  ioovolcl  27718  volioo  27719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362
  Copyright terms: Public domain W3C validator