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Theorem ovoliunnul 19441
Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovoliunnul  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4135 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ n  e.  (/)  B )
2 0iun 4178 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  (/)  B  =  (/)
31, 2syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  (/) )
43fveq2d 5767 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  ( vol * `  (/) ) )
5 ovol0 19427 . . . 4  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
64, 5syl6eq 2491 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
8 reldom 7151 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4953 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
109adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  A  e.  _V )
11 0sdomg 7272 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
13 fodomr 7294 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1413expcom 426 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
1514adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
16 eliun 4126 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
17 nfv 1631 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  f : NN -onto-> A
18 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
19 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2018, 19nfiun 4149 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2120nfcri 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B
22 foelrn 5924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  e.  A
)  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) )
2322ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) ) )
24 csbeq1a 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  B  =  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )
2524adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  B  =  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
2625eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
2726biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
[_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2827impancom 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2928reximdv 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
30 eliun 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
3129, 30syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
3231ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  B  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
3332com23 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3423, 33syld 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) )
3517, 21, 34rexlimd 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3616, 35syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  U_ n  e.  A  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3736ssrdv 3343 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
3837adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
39 fof 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
4039adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  f : NN --> A )
4140ffvelrnda 5906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  A )
42 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )
43 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n RR
4419, 43nfss 3330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR
45 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n vol *
4645, 19nffv 5770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
4746nfeq1 2588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0
4844, 47nfan 1849 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ ( f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
4924sseq1d 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR ) )
5024fveq2d 5767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
5150eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( vol * `  B )  =  0  <-> 
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5249, 51anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  <->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5348, 52rspc 3055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 )  ->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5441, 42, 53sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5554simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR )
5655ralrimiva 2796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
57 iunss 4162 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR 
<-> 
A. k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR )
5856, 57sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
60 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol
* `  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
6154simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
62 0re 9129 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6361, 62syl6eqel 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  e.  RR )
6461mpteq2dva 4326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  0 ) )
65 fconstmpt 4956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN  |->  0 )
66 nnuz 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6766xpeq1i 4933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
6865, 67eqtr3i 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } )
6964, 68syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )
7069seqeq3d 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )
71 1z 10349 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
72 serclim0 12409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
73 seqex 11363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  _V
74 c0ex 9123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
7573, 74breldm 5109 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
7671, 72, 75mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>
7770, 76syl6eqel 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7859, 60, 55, 63, 77ovoliun2 19440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
7961sumeq2dv 12535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  sum_ k  e.  NN  0
)
8066eqimssi 3391 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
8180orci 381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  NN  e.  Fin )
82 sumz 12554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  NN  0  =  0 )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  0  =  0
8479, 83syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
8578, 84breqtrd 4267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_ 
0 )
86 ovolge0 19415 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
8758, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
88 ovolcl 19412 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR* )
8958, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  e. 
RR* )
90 0xr 9169 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
91 xrletri3 10783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9289, 90, 91sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9385, 87, 92mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  =  0 )
94 ovolssnul 19421 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  /\  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 )  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9538, 58, 93, 94syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9695ex 425 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( f : NN -onto-> A  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
9796exlimdv 1648 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( E. f 
f : NN -onto-> A  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9815, 97syld 43 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  -> 
( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9912, 98sylbird 228 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
1007, 99pm2.61dne 2688 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712   E.wrex 2713   _Vcvv 2965   [_csb 3270    C_ wss 3309   (/)c0 3616   {csn 3843   U_ciun 4122   class class class wbr 4243    e. cmpt 4297    X. cxp 4911   dom cdm 4913   -->wf 5485   -onto->wfo 5487   ` cfv 5489    ~<_ cdom 7143    ~< csdm 7144   Fincfn 7145   RRcr 9027   0cc0 9028   1c1 9029    + caddc 9031   RR*cxr 9157    <_ cle 9159   NNcn 10038   ZZcz 10320   ZZ>=cuz 10526    seq cseq 11361    ~~> cli 12316   sum_csu 12517   vol *covol 19397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cc 8353  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xadd 10749  df-ioo 10958  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-fl 11240  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-rlim 12321  df-sum 12518  df-xmet 16733  df-met 16734  df-ovol 19399
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