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Theorem ovoliunnul 18868
Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovoliunnul  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3920 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ n  e.  (/)  B )
2 0iun 3961 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  (/)  B  =  (/)
31, 2syl6eq 2333 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  (/) )
43fveq2d 5531 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  ( vol * `  (/) ) )
5 ovol0 18854 . . . 4  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
64, 5syl6eq 2333 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
76a1i 10 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
8 reldom 6871 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4731 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  A  e.  _V )
11 0sdomg 6992 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
13 fodomr 7014 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1413expcom 424 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
16 eliun 3911 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
17 nfv 1607 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  f : NN -onto-> A
18 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
19 nfcsb1v 3115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2018, 19nfiun 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2120nfel2 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B
22 foelrn 5681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  e.  A
)  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) ) )
24 csbeq1a 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  B  =  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  B  =  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
2625eleq2d 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
2726biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
[_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2827impancom 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2928reximdv 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
30 eliun 3911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
3129, 30syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
3231ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  B  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
3332com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3423, 33syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) )
3517, 21, 34rexlimd 2666 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3616, 35syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  U_ n  e.  A  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3736ssrdv 3187 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
3837adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
39 fof 5453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  f : NN --> A )
41 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> A  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  A )
4240, 41sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  A )
43 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )
44 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n RR
4519, 44nfss 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR
46 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n vol *
4746, 19nffv 5534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
4847nfeq1 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0
4945, 48nfan 1773 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ ( f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
5024sseq1d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR ) )
5124fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
5251eqeq1d 2293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( vol * `  B )  =  0  <-> 
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5350, 52anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  <->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5449, 53rspc 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 )  ->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5542, 43, 54sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5655simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR )
5756ralrimiva 2628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
58 iunss 3945 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR 
<-> 
A. k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR )
5957, 58sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
60 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
61 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol
* `  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
6255simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
63 0re 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6462, 63syl6eqel 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  e.  RR )
6562mpteq2dva 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  0 ) )
66 fconstmpt 4734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN  |->  0 )
67 nnuz 10265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6867xpeq1i 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
6966, 68eqtr3i 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } )
7065, 69syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )
7170seqeq3d 11056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )
72 1z 10055 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
73 serclim0 12053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
74 seqex 11050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  _V
75 c0ex 8834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
7674, 75breldm 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
7772, 73, 76mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>
7871, 77syl6eqel 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7960, 61, 56, 64, 78ovoliun2 18867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
8062sumeq2dv 12178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  sum_ k  e.  NN  0
)
8167eqimssi 3234 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
8281orci 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  NN  e.  Fin )
83 sumz 12197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  NN  0  =  0 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  0  =  0
8580, 84syl6eq 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
8679, 85breqtrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_ 
0 )
87 ovolge0 18842 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
8859, 87syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
89 ovolcl 18839 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR* )
9059, 89syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  e. 
RR* )
91 0xr 8880 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
92 xrletri3 10488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9390, 91, 92sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9486, 88, 93mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  =  0 )
95 ovolssnul 18848 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  /\  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 )  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9638, 59, 94, 95syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9796ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( f : NN -onto-> A  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
9897exlimdv 1666 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( E. f 
f : NN -onto-> A  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9915, 98syld 40 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  -> 
( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
10012, 99sylbird 226 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
1017, 100pm2.61dne 2525 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790   [_csb 3083    C_ wss 3154   (/)c0 3457   {csn 3642   U_ciun 3907   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    X. cxp 4689   dom cdm 4691   -->wf 5253   -onto->wfo 5255   ` cfv 5257    ~<_ cdom 6863    ~< csdm 6864   Fincfn 6865   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742   RR*cxr 8868    <_ cle 8870   NNcn 9748   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232    seq cseq 11048    ~~> cli 11960   sum_csu 12160   vol *covol 18824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xadd 10455  df-ioo 10662  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-xmet 16375  df-met 16376  df-ovol 18826
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