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Theorem ovoliunnul 19270
Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovoliunnul  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4048 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ n  e.  (/)  B )
2 0iun 4089 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  (/)  B  =  (/)
31, 2syl6eq 2435 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  (/) )
43fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  ( vol * `  (/) ) )
5 ovol0 19256 . . . 4  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
64, 5syl6eq 2435 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
8 reldom 7051 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4858 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  A  e.  _V )
11 0sdomg 7172 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
13 fodomr 7194 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1413expcom 425 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
16 eliun 4039 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
17 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  f : NN -onto-> A
18 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
19 nfcsb1v 3226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2018, 19nfiun 4061 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2120nfcri 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B
22 foelrn 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  e.  A
)  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) )
2322ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) ) )
24 csbeq1a 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  B  =  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  B  =  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
2625eleq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
2726biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
[_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2827impancom 428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2928reximdv 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
30 eliun 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
3129, 30syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
3231ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  B  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
3332com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3423, 33syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) )
3517, 21, 34rexlimd 2770 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3616, 35syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  U_ n  e.  A  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3736ssrdv 3297 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
3837adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
39 fof 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  f : NN --> A )
4140ffvelrnda 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  A )
42 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )
43 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n RR
4419, 43nfss 3284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR
45 nfcv 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n vol *
4645, 19nffv 5675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
4746nfeq1 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0
4844, 47nfan 1836 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ ( f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
4924sseq1d 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR ) )
5024fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
5150eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( vol * `  B )  =  0  <-> 
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5249, 51anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  <->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5348, 52rspc 2989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 )  ->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5441, 42, 53sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5554simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR )
5655ralrimiva 2732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
57 iunss 4073 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR 
<-> 
A. k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR )
5856, 57sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
59 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
60 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol
* `  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
6154simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
62 0re 9024 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6361, 62syl6eqel 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  e.  RR )
6461mpteq2dva 4236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  0 ) )
65 fconstmpt 4861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN  |->  0 )
66 nnuz 10453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6766xpeq1i 4838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
6865, 67eqtr3i 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } )
6964, 68syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )
7069seqeq3d 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )
71 1z 10243 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
72 serclim0 12298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
73 seqex 11252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  _V
74 c0ex 9018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
7573, 74breldm 5014 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
7671, 72, 75mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>
7770, 76syl6eqel 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7859, 60, 55, 63, 77ovoliun2 19269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
7961sumeq2dv 12424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  sum_ k  e.  NN  0
)
8066eqimssi 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
8180orci 380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  NN  e.  Fin )
82 sumz 12443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  NN  0  =  0 )
8381, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  0  =  0
8479, 83syl6eq 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
8578, 84breqtrd 4177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_ 
0 )
86 ovolge0 19244 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
8758, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
88 ovolcl 19241 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR* )
8958, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  e. 
RR* )
90 0xr 9064 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
91 xrletri3 10677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9289, 90, 91sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9385, 87, 92mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  =  0 )
94 ovolssnul 19250 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  /\  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 )  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9538, 58, 93, 94syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9695ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( f : NN -onto-> A  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
9796exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( E. f 
f : NN -onto-> A  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9815, 97syld 42 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  -> 
( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9912, 98sylbird 227 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
1007, 99pm2.61dne 2627 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899   [_csb 3194    C_ wss 3263   (/)c0 3571   {csn 3757   U_ciun 4035   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   dom cdm 4818   -->wf 5390   -onto->wfo 5392   ` cfv 5394    ~<_ cdom 7043    ~< csdm 7044   Fincfn 7045   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926   RR*cxr 9052    <_ cle 9054   NNcn 9932   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420    seq cseq 11250    ~~> cli 12205   sum_csu 12406   vol *covol 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xadd 10643  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-xmet 16619  df-met 16620  df-ovol 19228
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