MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Unicode version

Theorem ovres 5886
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4674 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )
2 fvres 5440 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D
) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
4 df-ov 5760 . 2  |-  ( A ( F  |`  ( C  X.  D ) ) B )  =  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `
 <. A ,  B >. )
5 df-ov 5760 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
63, 4, 53eqtr4g 2313 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3584    X. cxp 4624    |` cres 4628   ` cfv 4638  (class class class)co 5757
This theorem is referenced by:  ovresd  5887  oprssov  5888  ofmresval  6016  cantnfval2  7303  mulnzcnopr  9347  prdsdsval3  13311  frmdplusg  14403  frmdadd  14404  gaid  14680  gass  14682  gasubg  14683  mplsubrglem  16110  tsmsxplem1  17762  tsmsxplem2  17763  xmetres2  17852  prdsdsf  17858  ressprdsds  17862  xpsdsval  17872  blres  17904  xmetresbl  17910  mscl  17934  xmscl  17935  xmsge0  17936  xmseq0  17937  nmfval2  18040  nmval2  18041  isngp3  18047  ngpds  18052  xrsdsre  18243  divcn  18299  cncfmet  18339  cfilresi  18648  cfilres  18649  dvdsmulf1o  20361  subgoov  20897  issubgoi  20902  ablomul  20947  mulid  20948  ghgrplem2  20959  sspgval  21230  sspsval  21232  sspmlem  21233  hhssabloi  21764  hhssnv  21766  hhssmetdval  21780  cvmlift2lem9  23179  nZdef  24512  equivbnd2  25848  ismtyres  25864  iccbnd  25896  exidreslem  25899  divrngcl  25920  isdrngo2  25921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fv 4654  df-ov 5760
  Copyright terms: Public domain W3C validator