MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Structured version   Unicode version

Theorem ovres 6213
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4910 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )
2 fvres 5745 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D
) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
4 df-ov 6084 . 2  |-  ( A ( F  |`  ( C  X.  D ) ) B )  =  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `
 <. A ,  B >. )
5 df-ov 6084 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
63, 4, 53eqtr4g 2493 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3817    X. cxp 4876    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081
This theorem is referenced by:  ovresd  6214  oprssov  6215  ofmresval  6344  cantnfval2  7624  mulnzcnopr  9668  prdsdsval3  13707  frmdplusg  14799  frmdadd  14800  gaid  15076  gass  15078  gasubg  15079  mplsubrglem  16502  tsmsxplem1  18182  tsmsxplem2  18183  xmetres2  18391  ressprdsds  18401  blres  18461  xmetresbl  18467  mscl  18491  xmscl  18492  xmsge0  18493  xmseq0  18494  nmfval2  18638  nmval2  18639  isngp3  18645  ngpds  18650  xrsdsre  18841  divcn  18898  cncfmet  18938  cfilresi  19248  cfilres  19249  dvdsmulf1o  20979  subgoov  21893  issubgoi  21898  ablomul  21943  mulid  21944  ghgrplem2  21955  sspgval  22228  sspsval  22230  sspmlem  22231  hhssabloi  22762  hhssnv  22764  hhssmetdval  22778  raddcn  24315  xrge0pluscn  24326  cvmlift2lem9  24998  equivbnd2  26501  ismtyres  26517  iccbnd  26549  exidreslem  26552  divrngcl  26573  isdrngo2  26574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-res 4890  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084
  Copyright terms: Public domain W3C validator