MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Unicode version

Theorem ovres 5907
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4695 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )
2 fvres 5461 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D
) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
4 df-ov 5781 . 2  |-  ( A ( F  |`  ( C  X.  D ) ) B )  =  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `
 <. A ,  B >. )
5 df-ov 5781 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
63, 4, 53eqtr4g 2313 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3603    X. cxp 4645    |` cres 4649   ` cfv 4659  (class class class)co 5778
This theorem is referenced by:  ovresd  5908  oprssov  5909  ofmresval  6037  cantnfval2  7324  mulnzcnopr  9368  prdsdsval3  13332  frmdplusg  14424  frmdadd  14425  gaid  14701  gass  14703  gasubg  14704  mplsubrglem  16131  tsmsxplem1  17783  tsmsxplem2  17784  xmetres2  17873  prdsdsf  17879  ressprdsds  17883  xpsdsval  17893  blres  17925  xmetresbl  17931  mscl  17955  xmscl  17956  xmsge0  17957  xmseq0  17958  nmfval2  18061  nmval2  18062  isngp3  18068  ngpds  18073  xrsdsre  18264  divcn  18320  cncfmet  18360  cfilresi  18669  cfilres  18670  dvdsmulf1o  20382  subgoov  20918  issubgoi  20923  ablomul  20968  mulid  20969  ghgrplem2  20980  sspgval  21251  sspsval  21253  sspmlem  21254  hhssabloi  21785  hhssnv  21787  hhssmetdval  21801  cvmlift2lem9  23200  nZdef  24533  equivbnd2  25869  ismtyres  25885  iccbnd  25917  exidreslem  25920  divrngcl  25941  isdrngo2  25942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fv 4675  df-ov 5781
  Copyright terms: Public domain W3C validator