MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Unicode version

Theorem ovres 5948
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4720 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )
2 fvres 5502 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D
) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
4 df-ov 5822 . 2  |-  ( A ( F  |`  ( C  X.  D ) ) B )  =  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `
 <. A ,  B >. )
5 df-ov 5822 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
63, 4, 53eqtr4g 2341 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   <.cop 3644    X. cxp 4686    |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5819
This theorem is referenced by:  ovresd  5949  oprssov  5950  ofmresval  6078  cantnfval2  7365  mulnzcnopr  9409  prdsdsval3  13378  frmdplusg  14470  frmdadd  14471  gaid  14747  gass  14749  gasubg  14750  mplsubrglem  16177  tsmsxplem1  17829  tsmsxplem2  17830  xmetres2  17919  prdsdsf  17925  ressprdsds  17929  xpsdsval  17939  blres  17971  xmetresbl  17977  mscl  18001  xmscl  18002  xmsge0  18003  xmseq0  18004  nmfval2  18107  nmval2  18108  isngp3  18114  ngpds  18119  xrsdsre  18310  divcn  18366  cncfmet  18406  cfilresi  18715  cfilres  18716  dvdsmulf1o  20428  subgoov  20964  issubgoi  20969  ablomul  21014  mulid  21015  ghgrplem2  21026  sspgval  21297  sspsval  21299  sspmlem  21300  hhssabloi  21831  hhssnv  21833  hhssmetdval  21847  cvmlift2lem9  23246  nZdef  24579  equivbnd2  25915  ismtyres  25931  iccbnd  25963  exidreslem  25966  divrngcl  25987  isdrngo2  25988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fv 5229  df-ov 5822
  Copyright terms: Public domain W3C validator