MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Unicode version

Theorem ovres 6003
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4737 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )
2 fvres 5558 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D
) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
4 df-ov 5877 . 2  |-  ( A ( F  |`  ( C  X.  D ) ) B )  =  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `
 <. A ,  B >. )
5 df-ov 5877 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
63, 4, 53eqtr4g 2353 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874
This theorem is referenced by:  ovresd  6004  oprssov  6005  ofmresval  6133  cantnfval2  7386  mulnzcnopr  9430  prdsdsval3  13400  frmdplusg  14492  frmdadd  14493  gaid  14769  gass  14771  gasubg  14772  mplsubrglem  16199  tsmsxplem1  17851  tsmsxplem2  17852  xmetres2  17941  prdsdsf  17947  ressprdsds  17951  xpsdsval  17961  blres  17993  xmetresbl  17999  mscl  18023  xmscl  18024  xmsge0  18025  xmseq0  18026  nmfval2  18129  nmval2  18130  isngp3  18136  ngpds  18141  xrsdsre  18332  divcn  18388  cncfmet  18428  cfilresi  18737  cfilres  18738  dvdsmulf1o  20450  subgoov  20988  issubgoi  20993  ablomul  21038  mulid  21039  ghgrplem2  21050  sspgval  21321  sspsval  21323  sspmlem  21324  hhssabloi  21855  hhssnv  21857  hhssmetdval  21871  xrge0pluscn  23337  cvmlift2lem9  23857  nZdef  25283  equivbnd2  26619  ismtyres  26635  iccbnd  26667  exidreslem  26670  divrngcl  26691  isdrngo2  26692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-res 4717  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877
  Copyright terms: Public domain W3C validator