Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd01 Structured version   Unicode version

Theorem padd01 30608
Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
padd01  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )

Proof of Theorem padd01
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  B )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  X  C_  A )
3 0ss 3656 . . . . 5  |-  (/)  C_  A
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  (/)  C_  A )
51, 2, 43jca 1134 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  (/)  C_  A ) )
6 neirr 2606 . . . 4  |-  -.  (/)  =/=  (/)
76intnan 881 . . 3  |-  -.  ( X  =/=  (/)  /\  (/)  =/=  (/) )
8 padd0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 padd0.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
108, 9paddval0 30607 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  (/)  C_  A )  /\  -.  ( X  =/=  (/)  /\  (/)  =/=  (/) ) )  ->  ( X  .+  (/) )  =  ( X  u.  (/) ) )
115, 7, 10sylancl 644 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  ( X  u.  (/) ) )
12 un0 3652 . 2  |-  ( X  u.  (/) )  =  X
1311, 12syl6eq 2484 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Atomscatm 30061   + Pcpadd 30592
This theorem is referenced by:  paddasslem17  30633  pmodlem2  30644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-padd 30593
  Copyright terms: Public domain W3C validator