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Theorem paddclN 28720
Description: The projective sum of two subspaces is a subspace. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddidm.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
paddidm.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  S )

Proof of Theorem paddclN
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3 paddidm.s . . . . 5  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
42, 3psubssat 28632 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
543adant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
62, 3psubssat 28632 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
763adant2 979 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
8 paddidm.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
92, 8paddssat 28692 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
101, 5, 7, 9syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
11 olc 375 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) )  ->  ( ( p  e.  ( X  .+  Y )  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) )
12 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
1412, 13, 2, 8elpadd 28677 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  <-> 
( ( p  e.  ( X  .+  Y
)  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) ) )
151, 10, 10, 14syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) )  <->  ( (
p  e.  ( X 
.+  Y )  \/  p  e.  ( X 
.+  Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) ) )
162, 8padd4N 28718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  X ) 
.+  ( Y  .+  Y ) ) )
171, 5, 7, 5, 7, 16syl122anc 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
183, 8paddidm 28719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
19183adant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
203, 8paddidm 28719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  ( Y  .+  Y
)  =  Y )
21203adant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( Y  .+  Y
)  =  Y )
2219, 21oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
2317, 22eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
2423eleq2d 2320 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) )  <->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2515, 24bitr3d 248 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( ( p  e.  ( X  .+  Y )  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) )  <->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2611, 25syl5ib 212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2726exp3a 427 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( E. q  e.  ( X  .+  Y
) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2827ralrimiv 2587 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  A. p  e.  (
Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2912, 13, 2, 3ispsubsp2 28624 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  S  <->  ( ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) ) ) )
30293ad2ant1 981 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  e.  S  <->  ( ( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X 
.+  Y ) E. r  e.  ( X 
.+  Y ) p ( le `  K
) ( q (
join `  K )
r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y
) ) ) ) )
3110, 28, 30mpbir2and 893 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   lecple 13089   joincjn 13922   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   PSubSpcpsubsp 28374   + Pcpadd 28673
This theorem is referenced by:  pmodl42N  28729  pclun2N  28777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-psubsp 28381  df-padd 28674
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