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Theorem paddclN 29161
Description: The projective sum of two subspaces is a subspace. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddidm.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
paddidm.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  S )

Proof of Theorem paddclN
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3 paddidm.s . . . . 5  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
42, 3psubssat 29073 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
543adant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
62, 3psubssat 29073 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
763adant2 979 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
8 paddidm.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
92, 8paddssat 29133 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
101, 5, 7, 9syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
11 olc 375 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) )  ->  ( ( p  e.  ( X  .+  Y )  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) )
12 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
1412, 13, 2, 8elpadd 29118 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  <-> 
( ( p  e.  ( X  .+  Y
)  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) ) )
151, 10, 10, 14syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) )  <->  ( (
p  e.  ( X 
.+  Y )  \/  p  e.  ( X 
.+  Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) ) )
162, 8padd4N 29159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  X ) 
.+  ( Y  .+  Y ) ) )
171, 5, 7, 5, 7, 16syl122anc 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
183, 8paddidm 29160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
19183adant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
203, 8paddidm 29160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  ( Y  .+  Y
)  =  Y )
21203adant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( Y  .+  Y
)  =  Y )
2219, 21oveq12d 5775 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
2317, 22eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
2423eleq2d 2323 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) )  <->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2515, 24bitr3d 248 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( ( p  e.  ( X  .+  Y )  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) )  <->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2611, 25syl5ib 212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2726exp3a 427 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( E. q  e.  ( X  .+  Y
) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2827ralrimiv 2596 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  A. p  e.  (
Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2912, 13, 2, 3ispsubsp2 29065 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  S  <->  ( ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) ) ) )
30293ad2ant1 981 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  e.  S  <->  ( ( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X 
.+  Y ) E. r  e.  ( X 
.+  Y ) p ( le `  K
) ( q (
join `  K )
r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y
) ) ) ) )
3110, 28, 30mpbir2and 893 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    C_ wss 3094   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   lecple 13142   joincjn 14005   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   PSubSpcpsubsp 28815   + Pcpadd 29114
This theorem is referenced by:  pmodl42N  29170  pclun2N  29218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-lat 14079  df-clat 14141  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-psubsp 28822  df-padd 29115
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