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Theorem paddclN 30478
Description: The projective sum of two subspaces is a subspace. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddidm.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
paddidm.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  S )

Proof of Theorem paddclN
Dummy variables  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3 paddidm.s . . . . 5  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
42, 3psubssat 30390 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
543adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
62, 3psubssat 30390 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
763adant2 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  C_  ( Atoms `  K ) )
8 paddidm.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
92, 8paddssat 30450 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  ( Atoms `  K
)  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )
101, 5, 7, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
11 olc 374 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) )  ->  ( ( p  e.  ( X  .+  Y )  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) )
12 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
1412, 13, 2, 8elpadd 30435 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  <-> 
( ( p  e.  ( X  .+  Y
)  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) ) )
151, 10, 10, 14syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) )  <->  ( (
p  e.  ( X 
.+  Y )  \/  p  e.  ( X 
.+  Y ) )  \/  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) ) ) )
162, 8padd4N 30476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  Y  C_  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  X ) 
.+  ( Y  .+  Y ) ) )
171, 5, 7, 5, 7, 16syl122anc 1193 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
183, 8paddidm 30477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
19183adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
203, 8paddidm 30477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  S )  ->  ( Y  .+  Y
)  =  Y )
21203adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( Y  .+  Y
)  =  Y )
2219, 21oveq12d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
2317, 22eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
2423eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  ( X  .+  Y ) )  <->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2515, 24bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( ( p  e.  ( X  .+  Y )  \/  p  e.  ( X  .+  Y
) )  \/  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r ) ) )  <->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2611, 25syl5ib 211 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2726exp3a 426 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( E. q  e.  ( X  .+  Y
) E. r  e.  ( X  .+  Y
) p ( le
`  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2827ralrimiv 2780 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  A. p  e.  (
Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) )
2912, 13, 2, 3ispsubsp2 30382 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  S  <->  ( ( X  .+  Y )  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X  .+  Y ) E. r  e.  ( X  .+  Y ) p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y ) ) ) ) )
30293ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( ( X  .+  Y )  e.  S  <->  ( ( X  .+  Y
)  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) ( E. q  e.  ( X 
.+  Y ) E. r  e.  ( X 
.+  Y ) p ( le `  K
) ( q (
join `  K )
r )  ->  p  e.  ( X  .+  Y
) ) ) ) )
3110, 28, 30mpbir2and 889 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   lecple 13524   joincjn 14389   Atomscatm 29900   HLchlt 29987   PSubSpcpsubsp 30132   + Pcpadd 30431
This theorem is referenced by:  pmodl42N  30487  pclun2N  30535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-lat 14463  df-clat 14525  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-psubsp 30139  df-padd 30432
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