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Theorem padicabv 20795
Description: The p-adic absolute value (with arbitrary base) is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.f  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
padicabv  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, Q    x, P
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem padicabv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qabsabv.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A  =  (AbsVal `  Q )
)
3 qrng.q . . . 4  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 20784 . . 3  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
54a1i 10 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  QQ  =  ( Base `  Q
) )
6 qex 10344 . . 3  |-  QQ  e.  _V
7 cnfldadd 16400 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
83, 7ressplusg 13266 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
96, 8mp1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
10 cnfldmul 16401 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
113, 10ressmulr 13277 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
126, 11mp1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
133qrng0 20786 . . 3  |-  0  =  ( 0g `  Q )
1413a1i 10 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  =  ( 0g `  Q ) )
153qdrng 20785 . . 3  |-  Q  e.  DivRing
16 drngrng 15535 . . 3  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  Q  e.  Ring )
1715, 16mp1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Q  e.  Ring )
18 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1918a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
20 ioossre 10728 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
21 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  ( 0 (,) 1
) )
2220, 21sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR )
2322ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  e.  RR )
24 eliooord 10726 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2524adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2625simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <  N )
2722, 26elrpd 10404 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR+ )
2827rpne0d 10411 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  =/=  0 )
2928ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  =/=  0
)
30 df-ne 2461 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  0  <->  -.  x  =  0 )
31 pcqcl 12925 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3231adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  ZZ )
3332anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3430, 33sylan2br 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3523, 29, 34reexpclzd 11286 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( N ^
( P  pCnt  x
) )  e.  RR )
3619, 35ifclda 3605 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  x
) ) )  e.  RR )
37 padic.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
3836, 37fmptd 5700 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F : QQ --> RR )
39 0z 10051 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
40 zq 10338 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
4139, 40ax-mp 8 . . 3  |-  0  e.  QQ
42 iftrue 3584 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  0 )
43 c0ex 8848 . . . 4  |-  0  e.  _V
4442, 37, 43fvmpt 5618 . . 3  |-  ( 0  e.  QQ  ->  ( F `  0 )  =  0 )
4541, 44mp1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
46223ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
47 pcqcl 12925 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
4847adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  ZZ )
49483impb 1147 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
50263ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  N
)
51 expgt0 11151 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ  /\  0  <  N )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
5246, 49, 50, 51syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
53 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  0  <->  y  =  0 ) )
54 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  y
) )
5554oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
5653, 55ifbieq2d 3598 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
57 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  _V
5843, 57ifex 3636 . . . . . 6  |-  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e. 
_V
5956, 37, 58fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
60593ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) ) )
61 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  y  =/=  0
)
6261neneqd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  -.  y  = 
0 )
63 iffalse 3585 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  0  ->  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
6462, 63syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
6560, 64eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
6652, 65breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  y )
)
67 pcqmul 12922 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z
) )  =  ( ( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )
68673adant1r 1175 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z ) )  =  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) )
6968oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( N ^ ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) ) )
7022recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  CC )
71703ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  CC )
72283ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  =/=  0
)
73483adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
74 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  P  e.  Prime )
75 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  QQ )
76 simp3r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  =/=  0
)
77 pcqcl 12925 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
7874, 75, 76, 77syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
79 expaddz 11162 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  /\  ( ( P 
pCnt  y )  e.  ZZ  /\  ( P 
pCnt  z )  e.  ZZ ) )  -> 
( N ^ (
( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
8071, 72, 73, 78, 79syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( ( P  pCnt  y )  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
8169, 80eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
82 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  QQ )
83 qmulcl 10350 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  x.  z
)  e.  QQ )
8482, 75, 83syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  e.  QQ )
85 eqeq1 2302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  x.  z )  =  0 ) )
86 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )
8786oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
8885, 87ifbieq2d 3598 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) ) )
89 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) )  e.  _V
9043, 89ifex 3636 . . . . . 6  |-  if ( ( y  x.  z
)  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )  e. 
_V
9188, 37, 90fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  x.  z ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
9284, 91syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
93 qcn 10346 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  CC )
9482, 93syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  CC )
95 qcn 10346 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  CC )
9675, 95syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  CC )
97 simp2r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  =/=  0
)
9894, 96, 97, 76mulne0d 9436 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  =/=  0
)
9998neneqd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  ( y  x.  z )  =  0 )
100 iffalse 3585 . . . . 5  |-  ( -.  ( y  x.  z
)  =  0  ->  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
10199, 100syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
10292, 101eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
103653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
1041033adant3 975 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
105 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  0  <->  z  =  0 ) )
106 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  z
) )
107106oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
108105, 107ifbieq2d 3598 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
109 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  _V
11043, 109ifex 3636 . . . . . . 7  |-  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e. 
_V
111108, 37, 110fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
11275, 111syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
11376neneqd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  z  = 
0 )
114 iffalse 3585 . . . . . 6  |-  ( -.  z  =  0  ->  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
115113, 114syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
116112, 115eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
117104, 116oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  x.  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
11881, 102, 1173eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
119 iftrue 3584 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  0 )
120119breq1d 4049 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  ( if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  <->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
121 ifnefalse 3586 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  z )  =/=  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
122121adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
12373adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
124123zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  RR )
12578adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
126125zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  RR )
127 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) ) )
128127, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR )
129128ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  e.  RR )
13072ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  =/=  0 )
13174adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  P  e.  Prime )
132 qaddcl 10348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
13382, 75, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
134133adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
135 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  =/=  0 )
136 pcqcl 12925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( y  +  z )  e.  QQ  /\  ( y  +  z )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
137131, 134, 135, 136syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
138137adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
139129, 130, 138reexpclzd 11286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
140123adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
141129, 130, 140reexpclzd 11286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
142127adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) ) )
143142, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR )
144142, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  =/=  0 )
145143, 144, 123reexpclzd 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
146143, 144, 125reexpclzd 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
147145, 146readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR )
148147adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
149131adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  P  e.  Prime )
15082ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  y  e.  QQ )
15175ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  z  e.  QQ )
152 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )
153149, 150, 151, 152pcadd 12953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
154142, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR+ )
15525simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  <  1 )
156142, 155syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  <  1 )
157154, 123, 137, 156ltexp2rd 11285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  y
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
158157notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
159137zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  RR )
160124, 159lenltd 8981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y ) ) )
161143, 144, 137reexpclzd 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
162161, 145lenltd 8981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
163158, 160, 1623bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
164163biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
165153, 164syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
166127, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR+ )
167166, 78rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  e.  RR+ )
168167adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR+ )
169168rpge0d 10410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
170145, 146addge01d 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
171169, 170mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
172171adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
173139, 141, 148, 165, 172letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
174161adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
175146adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
176147adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
177131adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  P  e.  Prime )
17875ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  z  e.  QQ )
17982ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  y  e.  QQ )
180 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )
181177, 178, 179, 180pcadd 12953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
18294, 96addcomd 9030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  =  ( z  +  y ) )
183182oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P 
pCnt  ( z  +  y ) ) )
184183ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
185181, 184breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
186154, 125, 137, 156ltexp2rd 11285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  z
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
187186notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
188126, 159lenltd 8981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z ) ) )
189161, 146lenltd 8981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
190187, 188, 1893bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
191190biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
192185, 191syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
193166, 73rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  e.  RR+ )
194193adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR+ )
195194rpge0d 10410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
196146, 145addge02d 9377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
197195, 196mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
198197adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
199174, 175, 176, 192, 198letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
200124, 126, 173, 199lecasei 8942 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
201122, 200eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
202193, 167rpaddcld 10421 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR+ )
203202rpge0d 10410 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
204120, 201, 203pm2.61ne 2534 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
205 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  +  z )  =  0 ) )
206 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
207206oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
208205, 207ifbieq2d 3598 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
209 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  _V
21043, 209ifex 3636 . . . . 5  |-  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  e. 
_V
211208, 37, 210fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
212133, 211syl 15 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
213104, 116oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
214204, 212, 2133brtr4d 4069 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
2152, 5, 9, 12, 14, 17, 38, 45, 66, 118, 214isabvd 15601 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   ZZcz 10040   QQcq 10332   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ^cexp 11120   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   DivRingcdr 15528  AbsValcabv 15597  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  padicabvf  20796  padicabvcxp  20797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-abv 15598  df-cnfld 16394
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