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Theorem padicabv 21324
Description: The p-adic absolute value (with arbitrary base) is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.f  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
padicabv  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, Q    x, P
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem padicabv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qabsabv.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A  =  (AbsVal `  Q )
)
3 qrng.q . . . 4  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 21313 . . 3  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  QQ  =  ( Base `  Q
) )
6 qex 10586 . . 3  |-  QQ  e.  _V
7 cnfldadd 16708 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
83, 7ressplusg 13571 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
96, 8mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
10 cnfldmul 16709 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
113, 10ressmulr 13582 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
126, 11mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
133qrng0 21315 . . 3  |-  0  =  ( 0g `  Q )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  =  ( 0g `  Q ) )
153qdrng 21314 . . 3  |-  Q  e.  DivRing
16 drngrng 15842 . . 3  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  Q  e.  Ring )
1715, 16mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Q  e.  Ring )
18 0re 9091 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
20 ioossre 10972 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
21 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  ( 0 (,) 1
) )
2220, 21sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR )
2322ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  e.  RR )
24 eliooord 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2524adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2625simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <  N )
2722, 26elrpd 10646 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR+ )
2827rpne0d 10653 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  =/=  0 )
2928ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  =/=  0
)
30 df-ne 2601 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  0  <->  -.  x  =  0 )
31 pcqcl 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3231adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  ZZ )
3332anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3430, 33sylan2br 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3523, 29, 34reexpclzd 11548 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( N ^
( P  pCnt  x
) )  e.  RR )
3619, 35ifclda 3766 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  x
) ) )  e.  RR )
37 padic.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
3836, 37fmptd 5893 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F : QQ --> RR )
39 0z 10293 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
40 zq 10580 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
4139, 40ax-mp 8 . . 3  |-  0  e.  QQ
42 iftrue 3745 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  0 )
43 c0ex 9085 . . . 4  |-  0  e.  _V
4442, 37, 43fvmpt 5806 . . 3  |-  ( 0  e.  QQ  ->  ( F `  0 )  =  0 )
4541, 44mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
46223ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
47 pcqcl 13230 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
4847adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  ZZ )
49483impb 1149 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
50263ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  N
)
51 expgt0 11413 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ  /\  0  <  N )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
5246, 49, 50, 51syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
53 eqeq1 2442 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  0  <->  y  =  0 ) )
54 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  y
) )
5554oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
5653, 55ifbieq2d 3759 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
57 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  _V
5843, 57ifex 3797 . . . . . 6  |-  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e. 
_V
5956, 37, 58fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
60593ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) ) )
61 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  y  =/=  0
)
6261neneqd 2617 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  -.  y  = 
0 )
63 iffalse 3746 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  0  ->  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
6462, 63syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
6560, 64eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
6652, 65breqtrrd 4238 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  y )
)
67 pcqmul 13227 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z
) )  =  ( ( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )
68673adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z ) )  =  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) )
6968oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( N ^ ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) ) )
7022recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  CC )
71703ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  CC )
72283ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  =/=  0
)
73483adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
74 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  P  e.  Prime )
75 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  QQ )
76 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  =/=  0
)
77 pcqcl 13230 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
7874, 75, 76, 77syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
79 expaddz 11424 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  /\  ( ( P 
pCnt  y )  e.  ZZ  /\  ( P 
pCnt  z )  e.  ZZ ) )  -> 
( N ^ (
( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
8071, 72, 73, 78, 79syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( ( P  pCnt  y )  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
8169, 80eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
82 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  QQ )
83 qmulcl 10592 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  x.  z
)  e.  QQ )
8482, 75, 83syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  e.  QQ )
85 eqeq1 2442 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  x.  z )  =  0 ) )
86 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )
8786oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
8885, 87ifbieq2d 3759 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) ) )
89 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) )  e.  _V
9043, 89ifex 3797 . . . . . 6  |-  if ( ( y  x.  z
)  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )  e. 
_V
9188, 37, 90fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  x.  z ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
9284, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
93 qcn 10588 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  CC )
9482, 93syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  CC )
95 qcn 10588 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  CC )
9675, 95syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  CC )
97 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  =/=  0
)
9894, 96, 97, 76mulne0d 9674 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  =/=  0
)
9998neneqd 2617 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  ( y  x.  z )  =  0 )
100 iffalse 3746 . . . . 5  |-  ( -.  ( y  x.  z
)  =  0  ->  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
10199, 100syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
10292, 101eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
103653expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
1041033adant3 977 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
105 eqeq1 2442 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  0  <->  z  =  0 ) )
106 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  z
) )
107106oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
108105, 107ifbieq2d 3759 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
109 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  _V
11043, 109ifex 3797 . . . . . . 7  |-  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e. 
_V
111108, 37, 110fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
11275, 111syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
11376neneqd 2617 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  z  = 
0 )
114 iffalse 3746 . . . . . 6  |-  ( -.  z  =  0  ->  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
116112, 115eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
117104, 116oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  x.  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
11881, 102, 1173eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
119 iftrue 3745 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  0 )
120119breq1d 4222 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  ( if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  <->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
121 ifnefalse 3747 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  z )  =/=  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
122121adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
12373adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
124123zred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  RR )
12578adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
126125zred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  RR )
127 simp1 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) ) )
128127, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR )
129128ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  e.  RR )
13072ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  =/=  0 )
13174adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  P  e.  Prime )
132 qaddcl 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
13382, 75, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
134133adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
135 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  =/=  0 )
136 pcqcl 13230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( y  +  z )  e.  QQ  /\  ( y  +  z )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
137131, 134, 135, 136syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
138137adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
139129, 130, 138reexpclzd 11548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
140123adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
141129, 130, 140reexpclzd 11548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
142127adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) ) )
143142, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR )
144142, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  =/=  0 )
145143, 144, 123reexpclzd 11548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
146143, 144, 125reexpclzd 11548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
147145, 146readdcld 9115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR )
148147adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
149131adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  P  e.  Prime )
15082ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  y  e.  QQ )
15175ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  z  e.  QQ )
152 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )
153149, 150, 151, 152pcadd 13258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
154142, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR+ )
15525simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  <  1 )
156142, 155syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  <  1 )
157154, 123, 137, 156ltexp2rd 11547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  y
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
158157notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
159137zred 10375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  RR )
160124, 159lenltd 9219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y ) ) )
161143, 144, 137reexpclzd 11548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
162161, 145lenltd 9219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
163158, 160, 1623bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
164163biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
165153, 164syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
166127, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR+ )
167166, 78rpexpcld 11546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  e.  RR+ )
168167adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR+ )
169168rpge0d 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
170145, 146addge01d 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
171169, 170mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
172171adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
173139, 141, 148, 165, 172letrd 9227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
174161adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
175146adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
176147adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
177131adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  P  e.  Prime )
17875ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  z  e.  QQ )
17982ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  y  e.  QQ )
180 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )
181177, 178, 179, 180pcadd 13258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
18294, 96addcomd 9268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  =  ( z  +  y ) )
183182oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P 
pCnt  ( z  +  y ) ) )
184183ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
185181, 184breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
186154, 125, 137, 156ltexp2rd 11547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  z
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
187186notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
188126, 159lenltd 9219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z ) ) )
189161, 146lenltd 9219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
190187, 188, 1893bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
191190biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
192185, 191syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
193166, 73rpexpcld 11546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  e.  RR+ )
194193adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR+ )
195194rpge0d 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
196146, 145addge02d 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
197195, 196mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
198197adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
199174, 175, 176, 192, 198letrd 9227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
200124, 126, 173, 199lecasei 9179 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
201122, 200eqbrtrd 4232 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
202193, 167rpaddcld 10663 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR+ )
203202rpge0d 10652 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
204120, 201, 203pm2.61ne 2679 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
205 eqeq1 2442 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  +  z )  =  0 ) )
206 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
207206oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
208205, 207ifbieq2d 3759 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
209 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  _V
21043, 209ifex 3797 . . . . 5  |-  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  e. 
_V
211208, 37, 210fvmpt 5806 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
212133, 211syl 16 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
213104, 116oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
214204, 212, 2133brtr4d 4242 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
2152, 5, 9, 12, 14, 17, 38, 45, 66, 118, 214isabvd 15908 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2956   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121   ZZcz 10282   QQcq 10574   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   ^cexp 11382   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   0gc0g 13723   Ringcrg 15660   DivRingcdr 15835  AbsValcabv 15904  ℂfldccnfld 16703
This theorem is referenced by:  padicabvf  21325  padicabvcxp  21326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-abv 15905  df-cnfld 16704
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