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Theorem padicabv 21192
Description: The p-adic absolute value (with arbitrary base) is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
padic.f  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
padicabv  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, Q    x, P
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem padicabv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qabsabv.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  A  =  (AbsVal `  Q )
)
3 qrng.q . . . 4  |-  Q  =  (flds  QQ )
43qrngbas 21181 . . 3  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  QQ  =  ( Base `  Q
) )
6 qex 10519 . . 3  |-  QQ  e.  _V
7 cnfldadd 16632 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
83, 7ressplusg 13499 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
96, 8mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
10 cnfldmul 16633 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
113, 10ressmulr 13510 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
126, 11mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  x.  =  ( .r `  Q ) )
133qrng0 21183 . . 3  |-  0  =  ( 0g `  Q )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  =  ( 0g `  Q ) )
153qdrng 21182 . . 3  |-  Q  e.  DivRing
16 drngrng 15770 . . 3  |-  ( Q  e.  DivRing  ->  Q  e.  Ring )
1715, 16mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Q  e.  Ring )
18 0re 9025 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
20 ioossre 10905 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
21 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  ( 0 (,) 1
) )
2220, 21sseldi 3290 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR )
2322ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  e.  RR )
24 eliooord 10903 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2524adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
0  <  N  /\  N  <  1 ) )
2625simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  0  <  N )
2722, 26elrpd 10579 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  RR+ )
2827rpne0d 10586 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  =/=  0 )
2928ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  N  =/=  0
)
30 df-ne 2553 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  0  <->  -.  x  =  0 )
31 pcqcl 13158 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3231adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( x  e.  QQ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  ZZ )
3332anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  x  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3430, 33sylan2br 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  ZZ )
3523, 29, 34reexpclzd 11476 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  /\  -.  x  =  0 )  ->  ( N ^
( P  pCnt  x
) )  e.  RR )
3619, 35ifclda 3710 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  x  e.  QQ )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  x
) ) )  e.  RR )
37 padic.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) ) )
3836, 37fmptd 5833 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F : QQ --> RR )
39 0z 10226 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
40 zq 10513 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
4139, 40ax-mp 8 . . 3  |-  0  e.  QQ
42 iftrue 3689 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  0 )
43 c0ex 9019 . . . 4  |-  0  e.  _V
4442, 37, 43fvmpt 5746 . . 3  |-  ( 0  e.  QQ  ->  ( F `  0 )  =  0 )
4541, 44mp1i 12 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
46223ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
47 pcqcl 13158 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
4847adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  ZZ )
49483impb 1149 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
50263ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  N
)
51 expgt0 11341 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ  /\  0  <  N )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
5246, 49, 50, 51syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
53 eqeq1 2394 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  0  <->  y  =  0 ) )
54 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  y
) )
5554oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
5653, 55ifbieq2d 3703 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
57 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  _V
5843, 57ifex 3741 . . . . . 6  |-  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e. 
_V
5956, 37, 58fvmpt 5746 . . . . 5  |-  ( y  e.  QQ  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
60593ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) ) )
61 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  y  =/=  0
)
6261neneqd 2567 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  -.  y  = 
0 )
63 iffalse 3690 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  0  ->  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
6462, 63syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  if ( y  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  y
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
6560, 64eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
6652, 65breqtrrd 4180 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  ->  0  <  ( F `  y )
)
67 pcqmul 13155 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z
) )  =  ( ( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )
68673adant1r 1177 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  z ) )  =  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) )
6968oveq2d 6037 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( N ^ ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  z ) ) ) )
7022recnd 9048 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  e.  CC )
71703ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  CC )
72283ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  =/=  0
)
73483adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
74 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  P  e.  Prime )
75 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  QQ )
76 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  =/=  0
)
77 pcqcl 13158 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
7874, 75, 76, 77syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
79 expaddz 11352 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  /\  ( ( P 
pCnt  y )  e.  ZZ  /\  ( P 
pCnt  z )  e.  ZZ ) )  -> 
( N ^ (
( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
8071, 72, 73, 78, 79syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( ( P  pCnt  y )  +  ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P 
pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
8169, 80eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
82 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  QQ )
83 qmulcl 10525 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  x.  z
)  e.  QQ )
8482, 75, 83syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  e.  QQ )
85 eqeq1 2394 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  x.  z )  =  0 ) )
86 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) )
8786oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
8885, 87ifbieq2d 3703 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) ) )
89 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) )  e.  _V
9043, 89ifex 3741 . . . . . 6  |-  if ( ( y  x.  z
)  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )  e. 
_V
9188, 37, 90fvmpt 5746 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  x.  z ) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
9284, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) ) )
93 qcn 10521 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  CC )
9482, 93syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  e.  CC )
95 qcn 10521 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  CC )
9675, 95syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  z  e.  CC )
97 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  y  =/=  0
)
9894, 96, 97, 76mulne0d 9607 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  x.  z )  =/=  0
)
9998neneqd 2567 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  ( y  x.  z )  =  0 )
100 iffalse 3690 . . . . 5  |-  ( -.  ( y  x.  z
)  =  0  ->  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
10199, 100syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  x.  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  x.  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
10292, 101eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  x.  z ) ) ) )
103653expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
1041033adant3 977 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  y )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
105 eqeq1 2394 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  0  <->  z  =  0 ) )
106 oveq2 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  z
) )
107106oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
108105, 107ifbieq2d 3703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
109 ovex 6046 . . . . . . . 8  |-  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  _V
11043, 109ifex 3741 . . . . . . 7  |-  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e. 
_V
111108, 37, 110fvmpt 5746 . . . . . 6  |-  ( z  e.  QQ  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
11275, 111syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
11376neneqd 2567 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  z  = 
0 )
114 iffalse 3690 . . . . . 6  |-  ( -.  z  =  0  ->  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( z  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
116112, 115eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  z )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
117104, 116oveq12d 6039 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  x.  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  x.  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
11881, 102, 1173eqtr4d 2430 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  x.  z
) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
119 iftrue 3689 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  0 )
120119breq1d 4164 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  =  0  ->  ( if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  <->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
121 ifnefalse 3691 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  z )  =/=  0  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
122121adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  =  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
12373adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
124123zred 10308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  y )  e.  RR )
12578adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  ZZ )
126125zred 10308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  z )  e.  RR )
127 simp1 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) ) )
128127, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR )
129128ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  e.  RR )
13072ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  N  =/=  0 )
13174adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  P  e.  Prime )
132 qaddcl 10523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  QQ  /\  z  e.  QQ )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
13382, 75, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
134133adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  e.  QQ )
135 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( y  +  z )  =/=  0 )
136 pcqcl 13158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( y  +  z )  e.  QQ  /\  ( y  +  z )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
137131, 134, 135, 136syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
138137adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  ZZ )
139129, 130, 138reexpclzd 11476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
140123adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  e.  ZZ )
141129, 130, 140reexpclzd 11476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
142127adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) ) )
143142, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR )
144142, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  =/=  0 )
145143, 144, 123reexpclzd 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
146143, 144, 125reexpclzd 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
147145, 146readdcld 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR )
148147adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
149131adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  P  e.  Prime )
15082ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  y  e.  QQ )
15175ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  z  e.  QQ )
152 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )
153149, 150, 151, 152pcadd 13186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
154142, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR+ )
15525simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  N  <  1 )
156142, 155syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  N  <  1 )
157154, 123, 137, 156ltexp2rd 11475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  y
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
158157notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
159137zred 10308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  e.  RR )
160124, 159lenltd 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  y ) ) )
161143, 144, 137reexpclzd 11476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
162161, 145lenltd 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
163158, 160, 1623bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
164163biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
165153, 164syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  y ) ) )
166127, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  N  e.  RR+ )
167166, 78rpexpcld 11474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  e.  RR+ )
168167adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR+ )
169168rpge0d 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )
170145, 146addge01d 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
171169, 170mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
172171adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
173139, 141, 148, 165, 172letrd 9160 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  y )  <_ 
( P  pCnt  z
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
174161adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  RR )
175146adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  RR )
176147adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) )  e.  RR )
177131adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  P  e.  Prime )
17875ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  z  e.  QQ )
17982ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  y  e.  QQ )
180 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )
181177, 178, 179, 180pcadd 13186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
18294, 96addcomd 9201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( y  +  z )  =  ( z  +  y ) )
183182oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P 
pCnt  ( z  +  y ) ) )
184183ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  =  ( P  pCnt  (
z  +  y ) ) )
185181, 184breqtrrd 4180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
186154, 125, 137, 156ltexp2rd 11475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  < 
( P  pCnt  z
)  <->  ( N ^
( P  pCnt  z
) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
187186notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
188126, 159lenltd 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( y  +  z ) )  <  ( P  pCnt  z ) ) )
189161, 146lenltd 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <->  -.  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
190187, 188, 1893bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) )  <->  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
191190biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
192185, 191syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  ( N ^ ( P  pCnt  z ) ) )
193166, 73rpexpcld 11474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  e.  RR+ )
194193adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR+ )
195194rpge0d 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N ^ ( P 
pCnt  y ) ) )
196146, 145addge02d 9548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( 0  <_  ( N ^
( P  pCnt  y
) )  <->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
197195, 196mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
198197adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  z ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
199174, 175, 176, 192, 198letrd 9160 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  /\  (
y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0 )  /\  ( P  pCnt  z )  <_ 
( P  pCnt  y
) )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
200124, 126, 173, 199lecasei 9113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
201122, 200eqbrtrd 4174 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  /\  ( y  +  z )  =/=  0
)  ->  if (
( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
202193, 167rpaddcld 10596 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) )  e.  RR+ )
203202rpge0d 10585 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  0  <_  (
( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
204120, 201, 203pm2.61ne 2626 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) )  <_ 
( ( N ^
( P  pCnt  y
) )  +  ( N ^ ( P 
pCnt  z ) ) ) )
205 eqeq1 2394 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  (
x  =  0  <->  (
y  +  z )  =  0 ) )
206 oveq2 6029 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( P  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  (
y  +  z ) ) )
207206oveq2d 6037 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( N ^ ( P  pCnt  x ) )  =  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) )
208205, 207ifbieq2d 3703 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  x ) ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
209 ovex 6046 . . . . . 6  |-  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) )  e.  _V
21043, 209ifex 3741 . . . . 5  |-  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P  pCnt  ( y  +  z ) ) ) )  e. 
_V
211208, 37, 210fvmpt 5746 . . . 4  |-  ( ( y  +  z )  e.  QQ  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^
( P  pCnt  (
y  +  z ) ) ) ) )
212133, 211syl 16 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  =  if ( ( y  +  z )  =  0 ,  0 ,  ( N ^ ( P 
pCnt  ( y  +  z ) ) ) ) )
213104, 116oveq12d 6039 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  =  ( ( N ^ ( P  pCnt  y ) )  +  ( N ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
214204, 212, 2133brtr4d 4184 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1 ) )  /\  ( y  e.  QQ  /\  y  =/=  0 )  /\  (
z  e.  QQ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( F `  ( y  +  z ) )  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
2152, 5, 9, 12, 14, 17, 38, 45, 66, 118, 214isabvd 15836 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   _Vcvv 2900   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055   ZZcz 10215   QQcq 10507   RR+crp 10545   (,)cioo 10849   ^cexp 11310   Primecprime 13007    pCnt cpc 13138   Basecbs 13397   ↾s cress 13398   +g cplusg 13457   .rcmulr 13458   0gc0g 13651   Ringcrg 15588   DivRingcdr 15763  AbsValcabv 15832  ℂfldccnfld 16627
This theorem is referenced by:  padicabvf  21193  padicabvcxp  21194
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-fz 10977  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-dvds 12781  df-gcd 12935  df-prm 13008  df-pc 13139  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-subg 14869  df-cmn 15342  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-abv 15833  df-cnfld 16628
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