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Theorem pcadd 13258
Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcadd.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcadd.2  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
pcadd.3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
pcadd.4  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
Assertion
Ref Expression
pcadd  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem pcadd
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
2 elq 10576 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
31, 2sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
4 pcadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
5 elq 10576 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
64, 5sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
7 pcadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
8 pcxcl 13234 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  A )  e. 
RR* )
97, 1, 8syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  RR* )
10 xrleid 10743 . . . . . . 7  |-  ( ( P  pCnt  A )  e.  RR*  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  A ) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  A ) )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  A
) )
13 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  ->  ( A  +  B )  =  ( A  + 
0 ) )
14 qcn 10588 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
151, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1615addid1d 9266 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
1713, 16sylan9eqr 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  +  B )  =  A )
1817oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  =  ( P  pCnt  A
) )
1912, 18breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  ( A  +  B )
) )
2019a1d 23 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) ) )
21 reeanv 2875 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
22 reeanv 2875 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
237ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
24 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  e.  NN )
26 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
27 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  =  ( x  /  y ) )
284ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  e.  QQ )
29 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  =/=  0 )
30 pcqcl 13230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  ZZ )
3123, 28, 29, 30syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  ZZ )
3231zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  RR )
33 ltpnf 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  ( P  pCnt  B )  <  +oo )
34 rexr 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  ( P  pCnt  B )  e.  RR* )
35 pnfxr 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  +oo  e.  RR*
36 xrltnle 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  pCnt  B
)  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( P  pCnt  B
)  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  ( P  pCnt  B )
) )
3734, 35, 36sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  ( ( P  pCnt  B )  <  +oo 
<->  -.  +oo  <_  ( P 
pCnt  B ) ) )
3833, 37mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  pCnt  B )  e.  RR  ->  -.  +oo  <_  ( P  pCnt  B )
)
3932, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  +oo  <_  ( P  pCnt  B ) )
40 pc0 13228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = 
+oo )
4123, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  0
)  =  +oo )
4241breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P  pCnt  0 )  <_  ( P  pCnt  B )  <->  +oo  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
4339, 42mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  ( P  pCnt  0
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
44 pcadd.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
4544ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B ) )
46 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  =  0  ->  ( P  pCnt  A )  =  ( P  pCnt  0
) )
4746breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  =  0  ->  (
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  B )  <->  ( P  pCnt  0 )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
4845, 47syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( P  pCnt  0 )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
4948necon3bd 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( -.  ( P 
pCnt  0 )  <_ 
( P  pCnt  B
)  ->  A  =/=  0 ) )
5043, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  =/=  0 )
5127, 50eqnetrrd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( x  /  y
)  =/=  0 )
52 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  NN )
5352nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  CC )
5452nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  =/=  0 )
5553, 54div0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( 0  /  y
)  =  0 )
56 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  y )  =  ( 0  / 
y ) )
5756eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  /  y
)  =  0  <->  (
0  /  y )  =  0 ) )
5855, 57syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( x  =  0  ->  ( x  / 
y )  =  0 ) )
5958necon3d 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
y )  =/=  0  ->  x  =/=  0 ) )
6051, 59mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  x  =/=  0 )
61 pczcl 13222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  NN0 )
6223, 26, 60, 61syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  NN0 )
6325, 62nnexpcld 11544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  NN )
6463nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  CC )
6564, 53mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  x.  y
)  =  ( y  x.  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) )
6665oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  x.  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  /  ( ( P ^ ( P 
pCnt  x ) )  x.  y ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  /  ( y  x.  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) ) )
6726zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
6823, 52pccld 13224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  NN0 )
6925, 68nnexpcld 11544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  NN )
7069nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  CC )
7163nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  =/=  0 )
7269nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  =/=  0 )
7367, 64, 53, 70, 71, 72, 54divdivdivd 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  /  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  x.  y
) ) )
7427oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  =  ( P 
pCnt  ( x  / 
y ) ) )
75 pcdiv 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7623, 26, 60, 52, 75syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7774, 76eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7877oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =  ( P ^
( ( P  pCnt  x )  -  ( P 
pCnt  y ) ) ) )
7925nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
8025nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  P  =/=  0 )
8168nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  ZZ )
8262nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  ZZ )
8379, 80, 81, 82expsubd 11534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ (
( P  pCnt  x
)  -  ( P 
pCnt  y ) ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  x ) )  / 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
8478, 83eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
8584oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( A  /  (
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) ) )
8627oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  /  (
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( ( x  /  y )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) )
8767, 53, 64, 70, 54, 72, 71divdivdivd 9837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
y )  /  (
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) )  / 
( y  x.  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) ) ) )
8885, 86, 873eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( ( x  x.  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  /  ( y  x.  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) ) )
8966, 73, 883eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  /  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
9089oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  x.  (
( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  / 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  A ) )  x.  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
911ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  e.  QQ )
9291, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
93 pcqcl 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  e.  ZZ )
9423, 91, 50, 93syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  e.  ZZ )
9579, 80, 94expclzd 11528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  CC )
9679, 80, 94expne0d 11529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =/=  0 )
9792, 95, 96divcan2d 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  x.  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  A )
9890, 97eqtr2d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  A  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  (
( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  / 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) ) )
99 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
100 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  =  ( z  /  w ) )
101100, 29eqnetrrd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( z  /  w
)  =/=  0 )
102 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  NN )
103102nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  CC )
104102nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  =/=  0 )
105103, 104div0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( 0  /  w
)  =  0 )
106 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  0  ->  (
z  /  w )  =  ( 0  /  w ) )
107106eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  0  ->  (
( z  /  w
)  =  0  <->  (
0  /  w )  =  0 ) )
108105, 107syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( z  =  0  ->  ( z  /  w )  =  0 ) )
109108necon3d 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  /  w )  =/=  0  ->  z  =/=  0 ) )
110101, 109mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
z  =/=  0 )
111 pczcl 13222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  NN0 )
11223, 99, 110, 111syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  NN0 )
11325, 112nnexpcld 11544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  NN )
114113nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  CC )
115114, 103mulcomd 9109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  x.  w
)  =  ( w  x.  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
116115oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  x.  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  /  ( ( P ^ ( P 
pCnt  z ) )  x.  w ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  / 
( w  x.  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) ) ) )
11799zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
z  e.  CC )
11823, 102pccld 13224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  NN0 )
11925, 118nnexpcld 11544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  NN )
120119nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  CC )
121113nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  =/=  0 )
122119nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  =/=  0 )
123117, 114, 103, 120, 121, 122, 104divdivdivd 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  / 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  /  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  x.  w
) ) )
124100oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  =  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) )
125 pcdiv 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 )  /\  w  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
12623, 99, 110, 102, 125syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
127124, 126eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
128127oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  =  ( P ^
( ( P  pCnt  z )  -  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
129118nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  ZZ )
130112nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  ZZ )
13179, 80, 129, 130expsubd 11534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ (
( P  pCnt  z
)  -  ( P 
pCnt  w ) ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) )
132128, 131eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) )
133132oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( B  /  ( P ^ ( P  pCnt  B ) ) )  =  ( B  /  (
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) ) )
134100oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( B  /  (
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( ( z  /  w )  / 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) )
135117, 103, 114, 120, 104, 122, 121divdivdivd 9837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  /  w )  /  (
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  / 
( w  x.  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) ) ) )
136133, 134, 1353eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( B  /  ( P ^ ( P  pCnt  B ) ) )  =  ( ( z  x.  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  /  ( w  x.  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
137116, 123, 1363eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  / 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  /  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )  =  ( B  / 
( P ^ ( P  pCnt  B ) ) ) )
138137oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  B
) )  x.  (
( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  / 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  B ) )  x.  ( B  /  ( P ^ ( P  pCnt  B ) ) ) ) )
139 qcn 10588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
14028, 139syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
14179, 80, 31expclzd 11528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  e.  CC )
14279, 80, 31expne0d 11529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  B ) )  =/=  0 )
143140, 141, 142divcan2d 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  B
) )  x.  ( B  /  ( P ^
( P  pCnt  B
) ) ) )  =  B )
144138, 143eqtr2d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  B  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  B ) )  x.  (
( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  / 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) ) )
145 eluz 10499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  pCnt  A
)  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  pCnt  B )  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  A ) )  <->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
14694, 31, 145syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P  pCnt  B )  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  A ) )  <->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  B ) ) )
14745, 146mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  B
)  e.  ( ZZ>= `  ( P  pCnt  A ) ) )
148 pczdvds 13236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P ^
( P  pCnt  x
) )  ||  x
)
14923, 26, 60, 148syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) 
||  x )
15063nnzd 10374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  ZZ )
151 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  =/=  0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  x ) )  ||  x  <->  ( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ ) )
152150, 71, 26, 151syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  x
) )  ||  x  <->  ( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ ) )
153149, 152mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ )
154 pczndvds2 13240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  (
x  /  ( P ^ ( P  pCnt  x ) ) ) )
15523, 26, 60, 154syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( x  /  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) )
156153, 155jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( x  / 
( P ^ ( P  pCnt  x ) ) )  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  ( x  /  ( P ^
( P  pCnt  x
) ) ) ) )
157 pcdvds 13237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  y  e.  NN )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  ||  y
)
15823, 52, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) 
||  y )
15969nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  ZZ )
16052nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
161 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  y ) )  ||  y  <->  ( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  ZZ ) )
162159, 72, 160, 161syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  y
) )  ||  y  <->  ( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  ZZ ) )
163158, 162mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  ZZ )
16452nnred 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
y  e.  RR )
16569nnred 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  y ) )  e.  RR )
16652nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  y )
16769nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )
168164, 165, 166, 167divgt0d 9946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
169 elnnz 10292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  NN  <->  ( ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) ) )
170163, 168, 169sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( y  /  ( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  NN )
171 pcndvds2 13241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  y  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( y  / 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) ) )
17223, 52, 171syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) )
173170, 172jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( y  / 
( P ^ ( P  pCnt  y ) ) )  e.  NN  /\  -.  P  ||  ( y  /  ( P ^
( P  pCnt  y
) ) ) ) )
174 pczdvds 13236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P ^
( P  pCnt  z
) )  ||  z
)
17523, 99, 110, 174syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) 
||  z )
176113nnzd 10374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  ZZ )
177 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  =/=  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  z ) )  ||  z  <->  ( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ ) )
178176, 121, 99, 177syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  z
) )  ||  z  <->  ( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ ) )
179175, 178mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ )
180 pczndvds2 13240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  (
z  /  ( P ^ ( P  pCnt  z ) ) ) )
18123, 99, 110, 180syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( z  /  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) )
182179, 181jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( z  / 
( P ^ ( P  pCnt  z ) ) )  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  ( z  /  ( P ^
( P  pCnt  z
) ) ) ) )
183 pcdvds 13237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  w  e.  NN )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  ||  w
)
18423, 102, 183syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) ) 
||  w )
185119nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  ZZ )
186102nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
187 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  ZZ  /\  ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  =/=  0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  w ) )  ||  w  <->  ( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  ZZ ) )
188185, 122, 186, 187syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  w
) )  ||  w  <->  ( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  ZZ ) )
189184, 188mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  ZZ )
190102nnred 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  w  e.  RR )
191119nnred 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  w ) )  e.  RR )
192102nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  w )
193119nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )
194190, 191, 192, 193divgt0d 9946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
0  <  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )
195 elnnz 10292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  NN  <->  ( ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) ) )
196189, 194, 195sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( w  /  ( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  NN )
197 pcndvds2 13241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  w  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( w  / 
( P ^ ( P  pCnt  w ) ) ) )
19823, 102, 197syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) )
199196, 198jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( ( w  / 
( P ^ ( P  pCnt  w ) ) )  e.  NN  /\  -.  P  ||  ( w  /  ( P ^
( P  pCnt  w
) ) ) ) )
20023, 98, 144, 147, 156, 173, 182, 199pcaddlem 13257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )
201200expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  ( A  +  B )
) ) )
202201rexlimdvva 2837 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )
)  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_ 
( P  pCnt  ( A  +  B )
) ) )
20322, 202syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  0 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )
)  ->  ( ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) ) )
204203rexlimdvva 2837 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) ) )
20521, 204syl5bir 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) ) )
20620, 205pm2.61dane 2682 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  A )  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) ) )
2073, 6, 206mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   QQcq 10574   ^cexp 11382    || cdivides 12852   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210
This theorem is referenced by:  pcadd2  13259  padicabv  21324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211
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