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Theorem pclem 13212
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
Assertion
Ref Expression
pclem  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, n, y, N    P, n, x, y
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 ssrab2 3428 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3378 . . . 4  |-  A  C_  NN0
4 nn0ssz 10302 . . . 4  |-  NN0  C_  ZZ
53, 4sstri 3357 . . 3  |-  A  C_  ZZ
65a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  C_  ZZ )
7 0nn0 10236 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  NN0 )
9 eluzelz 10496 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
109zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  CC )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  CC )
1211exp0d 11517 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
13 1dvds 12864 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1413ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  ||  N )
1512, 14eqbrtrd 4232 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  ||  N )
16 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ 0 ) )
1716breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
1817, 1elrab2 3094 . . . 4  |-  ( 0  e.  A  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
198, 15, 18sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  A )
20 ne0i 3634 . . 3  |-  ( 0  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  (/) )
22 nnssz 10301 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
23 zcn 10287 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2423abscld 12238 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
2524ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
26 eluzelre 10497 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
2726adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  RR )
28 eluz2b2 10548 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
2928simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
3029adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  <  P )
31 expnbnd 11508 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  1  <  P )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x ) )
3225, 27, 30, 31syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )
33 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
34 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ y
) )
3534breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ y )  ||  N ) )
3635, 1elrab2 3094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y )  ||  N ) )
3733, 36sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y
)  ||  N )
)
3837simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  ||  N )
3928simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  NN )
4137simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  NN0 )
4240, 41nnexpcld 11544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  NN )
4342nnzd 10374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  ZZ )
44 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  e.  ZZ )
45 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  =/=  0 )
46 dvdsleabs 12896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( P ^ y
)  ||  N  ->  ( P ^ y )  <_  ( abs `  N
) ) )
4743, 44, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( P ^
y )  ||  N  ->  ( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) ) )
4838, 47mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) )
4942nnred 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  RR )
5025adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
5126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  RR )
52 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
5352ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  NN0 )
5451, 53reexpcld 11540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ x
)  e.  RR )
55 lelttr 9165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  RR  /\  ( abs `  N )  e.  RR  /\  ( P ^ x )  e.  RR )  ->  (
( ( P ^
y )  <_  ( abs `  N )  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5649, 50, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( P ^ y )  <_ 
( abs `  N
)  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^ x ) )  ->  ( P ^
y )  <  ( P ^ x ) ) )
5748, 56mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5841nn0zd 10373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
59 nnz 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
6059ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
6129ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
1  <  P )
6251, 58, 60, 61ltexp2d 11552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  <->  ( P ^ y )  <  ( P ^
x ) ) )
6357, 62sylibrd 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <  x )
)
6441nn0red 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  RR )
65 nnre 10007 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  RR )
67 ltle 9163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6864, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6963, 68syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7069anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7170ralrimdva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7271reximdva 2818 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7332, 72mpd 15 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x )
74 ssrexv 3408 . . 3  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7522, 73, 74mpsyl 61 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
766, 21, 753jca 1134 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ^cexp 11382   abscabs 12039    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  pcprecl  13213  pcprendvds  13214  pcpremul  13217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853
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