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Theorem pclfinN 29219
Description: The projective subspace closure of a set equals the union of the closures of its finite subsets. Analogous to Lemma 3.3.6 of [PtakPulmannova] p. 72. Compare the closed subspace version pclfinclN 29269. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfin.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclfinN  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  =  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, U    y, K    y, X

Proof of Theorem pclfinN
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  AtLat )
2 elin 3300 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( y  e.  Fin  /\  y  e. 
~P X ) )
3 elpwi 3574 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
43adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e.  ~P X
)  ->  y  C_  X )
52, 4sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  y  C_  X )
6 simpll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  K  e.  AtLat )
7 sstr 3129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  X  /\  X  C_  A )  -> 
y  C_  A )
87ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  A  /\  y  C_  X )  -> 
y  C_  A )
98adantll 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  y  C_  A
)
10 pclfin.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 eqid 2256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
12 pclfin.c . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( PCl `  K
)
1310, 11, 12pclclN 29210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  ( PSubSp `  K )
)
146, 9, 13syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( U `  y )  e.  (
PSubSp `  K ) )
1510, 11psubssat 29073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( U `  y )  e.  ( PSubSp `  K )
)  ->  ( U `  y )  C_  A
)
166, 14, 15syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( U `  y )  C_  A
)
1716ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  C_  X  ->  ( U `  y ) 
C_  A ) )
185, 17syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( U `  y
)  C_  A )
)
1918ralrimiv 2596 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  A. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A )
20 iunss 3884 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) 
C_  A  <->  A. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A )
2119, 20sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A )
22 eliun 3850 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  y
) )
23 fveq2 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( U `  y )  =  ( U `  w ) )
2423eleq2d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
p  e.  ( U `
 y )  <->  p  e.  ( U `  w ) ) )
2524cbvrexv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  y )  <->  E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
) )
2622, 25bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
) )
27 eliun 3850 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  y
) )
28 fveq2 5423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( U `  y )  =  ( U `  v ) )
2928eleq2d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
q  e.  ( U `
 y )  <->  q  e.  ( U `  v ) ) )
3029cbvrexv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  y )  <->  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) )
3127, 30bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) )
3226, 31anbi12i 681 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  /\  q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) )  <-> 
( E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
)  /\  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) ) )
33 elin 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( w  e.  Fin  /\  w  e. 
~P X ) )
34 elpwi 3574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ~P X  ->  w  C_  X )
3534anim2i 555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  w  e.  ~P X
)  ->  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X ) )
3633, 35sylbi 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X ) )
37 elin 3300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( v  e.  Fin  /\  v  e. 
~P X ) )
38 elpwi 3574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ~P X  -> 
v  C_  X )
3938anim2i 555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  v  e.  ~P X
)  ->  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X ) )
4037, 39sylbi 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  (
v  e.  Fin  /\  v  C_  X ) )
41 simp2rl 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  e.  Fin )
42 simp12l 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  e.  Fin )
43 unfi 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  v  e.  Fin )  ->  ( w  u.  v
)  e.  Fin )
4441, 42, 43syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  e.  Fin )
45 simp2rr 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  C_  X
)
46 simp12r 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  C_  X
)
4745, 46unssd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  C_  X
)
48 vex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  e. 
_V
49 vex 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  e. 
_V
5048, 49unex 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  u.  v )  e. 
_V
5150elpw 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  u.  v )  e.  ~P X  <->  ( w  u.  v )  C_  X
)
5247, 51sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  e.  ~P X )
53 elin 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  u.  v )  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( (
w  u.  v )  e.  Fin  /\  (
w  u.  v )  e.  ~P X ) )
5444, 52, 53sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) )
55 simp11l 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
56 simp11r 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  X  C_  A
)
5745, 56sstrd 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  C_  A
)
5846, 56sstrd 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  C_  A
)
5957, 58unssd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( w  u.  v )  C_  A
)
6010, 11, 12pclclN 29210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  (
w  u.  v ) 
C_  A )  -> 
( U `  (
w  u.  v ) )  e.  ( PSubSp `  K ) )
6155, 59, 60syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( U `  ( w  u.  v
) )  e.  (
PSubSp `  K ) )
62 simp3l 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  A
)
63 ssun1 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  w  C_  ( w  u.  v
)
6463a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  w  C_  (
w  u.  v ) )
6510, 12pclssN 29213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  w  C_  ( w  u.  v
)  /\  ( w  u.  v )  C_  A
)  ->  ( U `  w )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
6655, 64, 59, 65syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( U `  w )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
67 simp2l 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  p  e.  ( U `  w ) )
6866, 67sseldd 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  p  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
69 ssun2 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  C_  ( w  u.  v
)
7069a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  v  C_  (
w  u.  v ) )
7110, 12pclssN 29213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  v  C_  ( w  u.  v
)  /\  ( w  u.  v )  C_  A
)  ->  ( U `  v )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
7255, 70, 59, 71syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( U `  v )  C_  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
73 simp13 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  q  e.  ( U `  v ) )
7472, 73sseldd 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  q  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
75 simp3r 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q ) )
76 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
77 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
7876, 77, 10, 11psubspi2N 29067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  ( U `  (
w  u.  v ) )  e.  ( PSubSp `  K )  /\  r  e.  A )  /\  (
p  e.  ( U `
 ( w  u.  v ) )  /\  q  e.  ( U `  ( w  u.  v
) )  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
7955, 61, 62, 68, 74, 75, 78syl33anc 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) )
80 fveq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( w  u.  v )  ->  ( U `  y )  =  ( U `  ( w  u.  v
) ) )
8180eleq2d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( w  u.  v )  ->  (
r  e.  ( U `
 y )  <->  r  e.  ( U `  ( w  u.  v ) ) ) )
8281rcla4ev 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  u.  v
)  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  /\  r  e.  ( U `  ( w  u.  v
) ) )  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) r  e.  ( U `
 y ) )
8354, 79, 82syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) r  e.  ( U `  y ) )
84 eliun 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) r  e.  ( U `  y
) )
8583, 84sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
AtLat  /\  X  C_  A
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v
) )  /\  (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  /\  ( r  e.  A  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) )
86853exp 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v )
)  ->  ( (
p  e.  ( U `
 w )  /\  ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )
)  ->  ( (
r  e.  A  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q ) )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) ) ) )
8786exp5c 602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  ( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  /\  q  e.  ( U `  v )
)  ->  ( p  e.  ( U `  w
)  ->  ( (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) )
88873exp 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( v  e.  Fin  /\  v  C_  X )  ->  ( q  e.  ( U `  v )  ->  ( p  e.  ( U `  w
)  ->  ( (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) ) ) )
8940, 88syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
v  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( q  e.  ( U `  v )  ->  ( p  e.  ( U `  w
)  ->  ( (
w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) ) ) )
9089rexlimdv 2637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `
 v )  -> 
( p  e.  ( U `  w )  ->  ( ( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) ) ) )
9190com24 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( w  e.  Fin  /\  w  C_  X )  ->  ( p  e.  ( U `  w )  ->  ( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
)  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) ) ) )
9236, 91syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( p  e.  ( U `  w )  ->  ( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
)  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) ) ) )
9392rexlimdv 2637 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `
 w )  -> 
( E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
)  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) ) )
9493imp3a 422 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( E. w  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) p  e.  ( U `  w
)  /\  E. v  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) q  e.  ( U `  v
) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) )
9532, 94syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y )  /\  q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) )  ->  ( r  e.  A  ->  ( r ( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) )
9695ralrimdv 2603 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
( p  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y )  /\  q  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) )  ->  A. r  e.  A  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) )
9796ralrimivv 2605 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  A. p  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. q  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. r  e.  A  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) )
9876, 77, 10, 11ispsubsp 29064 . . . . 5  |-  ( K  e.  AtLat  ->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y )  e.  ( PSubSp `  K
)  <->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  A  /\  A. p  e. 
U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. q  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) A. r  e.  A  ( r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q )  ->  r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) ) ) ) )
9998adantr 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `  y
)  e.  ( PSubSp `  K )  <->  ( U_ y  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) ( U `  y ) 
C_  A  /\  A. p  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) A. q  e.  U_  y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) A. r  e.  A  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) ) ) )
10021, 97, 99mpbir2and 893 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  e.  ( PSubSp `  K )
)
101 snfi 6874 . . . . . . . . 9  |-  { w }  e.  Fin
102101a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  Fin )
103 snelpwi 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  X  ->  { w }  e.  ~P X
)
104103adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  ~P X
)
105 elin 3300 . . . . . . . 8  |-  ( { w }  e.  ( Fin  i^i  ~P X
)  <->  ( { w }  e.  Fin  /\  {
w }  e.  ~P X ) )
106102, 104, 105sylanbrc 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  ( Fin  i^i 
~P X ) )
10748snid 3608 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
{ w }
108 simpll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  K  e.  AtLat
)
109 ssel2 3117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  A  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  A )
110109adantll 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  A )
11110, 11snatpsubN 29069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  w  e.  A )  ->  { w }  e.  ( PSubSp `  K ) )
112108, 110, 111syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  { w }  e.  ( PSubSp `  K ) )
11311, 12pclidN 29215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  {
w }  e.  (
PSubSp `  K ) )  ->  ( U `  { w } )  =  { w }
)
114108, 112, 113syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  ( U `  { w } )  =  { w }
)
115107, 114syl5eleqr 2343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  ( U `  { w } ) )
116 fveq2 5423 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { w }  ->  ( U `  y
)  =  ( U `
 { w }
) )
117116eleq2d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { w }  ->  ( w  e.  ( U `  y )  <-> 
w  e.  ( U `
 { w }
) ) )
118117rcla4ev 2835 . . . . . . 7  |-  ( ( { w }  e.  ( Fin  i^i  ~P X
)  /\  w  e.  ( U `  { w } ) )  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `
 y ) )
119106, 115, 118syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  w  e.  X
)  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `  y
) )
120119ex 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  X  ->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `
 y ) ) )
121 eliun 3850 . . . . 5  |-  ( w  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `  y
) )
122120, 121syl6ibr 220 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  X  ->  w  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y ) ) )
123122ssrdv 3127 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  X  C_ 
U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
124 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  y  C_  X
)
125 simplr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  X  C_  A
)
12610, 12pclssN 29213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  y  C_  X  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  y )  C_  ( U `  X
) )
1276, 124, 125, 126syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( U `  y )  C_  ( U `  X )
)
128127sseld 3121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  /\  y  C_  X )  ->  ( w  e.  ( U `  y
)  ->  w  e.  ( U `  X ) ) )
129128ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  C_  X  ->  ( w  e.  ( U `
 y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) ) )
1305, 129syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  -> 
( w  e.  ( U `  y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) ) )
131130rexlimdv 2637 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) w  e.  ( U `
 y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) )
132121, 131syl5bi 210 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  (
w  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  ->  w  e.  ( U `  X ) ) )
133132ssrdv 3127 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  ( U `  X ) )
13411, 12pclbtwnN 29216 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  AtLat  /\ 
U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y )  e.  (
PSubSp `  K ) )  /\  ( X  C_  U_ y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) ( U `  y )  /\  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  C_  ( U `  X ) ) )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  =  ( U `  X
) )
1351, 100, 123, 133, 134syl22anc 1188 . 2  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  =  ( U `  X
) )
136135eqcomd 2261 1  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  =  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    u. cun 3092    i^i cin 3093    C_ wss 3094   ~Pcpw 3566   {csn 3581   U_ciun 3846   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Fincfn 6796   lecple 13142   joincjn 14005   Atomscatm 28583   AtLatcal 28584   PSubSpcpsubsp 28815   PClcpclN 29206
This theorem is referenced by:  pclcmpatN  29220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-en 6797  df-fin 6800  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-join 14037  df-lat 14079  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-psubsp 28822  df-pclN 29207
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