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Theorem pcohtpylem 18519
Description: Lemma for pcohtpy 18520. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcohtpy.5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
pcohtpy.6  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
pcohtpylem.7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
pcohtpylem.9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, G, y    x, H, y    x, J, y   
x, K, y
Allowed substitution hints:    P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables  s 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
2 isphtpc 18494 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) H  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  H  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  H  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
43simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 pcohtpy.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
6 isphtpc 18494 . . . . 5  |-  ( G (  ~=ph  `  J ) K  <->  ( G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  K  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( G
( PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
75, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( II  Cn  J )  /\  K  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( G (
PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
87simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pcohtpy.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
104, 8, 9pcocn 18517 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
113simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
127simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( II 
Cn  J ) )
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
144, 11, 13phtpy01 18485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( H `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( H `  1 ) ) )
1514simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
178, 12, 16phtpy01 18485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
0 )  =  ( K `  0 )  /\  ( G ` 
1 )  =  ( K `  1 ) ) )
1817simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( K `
 0 ) )
199, 15, 183eqtr3d 2325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( K `
 0 ) )
2011, 12, 19pcocn 18517 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( *p
`  J ) K )  e.  ( II 
Cn  J ) )
21 pcohtpylem.7 . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )
22 eqid 2285 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
23 eqid 2285 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
24 eqid 2285 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
25 dfii2 18388 . . . 4  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
26 0re 8840 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2726a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
28 1re 8839 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2928a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
30 rehalfcl 9940 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
3128, 30ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
32 halfgt0 9934 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
3326, 31, 32ltleii 8943 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
34 halflt1 9935 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3531, 28, 34ltleii 8943 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
3626, 28elicc2i 10718 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
3731, 33, 35, 36mpbir3an 1134 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
3837a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
39 iitopon 18385 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
4039a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
419adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
424, 11, 13phtpyi 18484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 M y )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 M y )  =  ( F `
 1 ) ) )
4342simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 M y )  =  ( F ` 
1 ) )
4443adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1 M y )  =  ( F `
 1 ) )
458, 12, 16phtpyi 18484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 N y )  =  ( G `
 0 )  /\  ( 1 N y )  =  ( G `
 1 ) ) )
4645simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 N y )  =  ( G ` 
0 ) )
4746adantrl 696 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0 N y )  =  ( G `
 0 ) )
4841, 44, 473eqtr4d 2327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1 M y )  =  ( 0 N y ) )
49 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  x  =  ( 1  /  2 ) )
5049oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
51 2cn 9818 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
52 2ne0 9831 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
5351, 52recidi 9493 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5450, 53syl6eq 2333 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  1 )
5554oveq1d 5875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( 1 M y ) )
5654oveq1d 5875 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
57 1m1e0 9816 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5856, 57syl6eq 2333 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  1 )  =  0 )
5958oveq1d 5875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y )  =  ( 0 N y ) )
6048, 55, 593eqtr4d 2327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )
61 retopon 18274 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
62 iccssre 10733 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
6326, 31, 62mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
64 resttopon 16894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6561, 63, 64mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
6665a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6766, 40cnmpt1st 17364 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
6823iihalf1cn 18432 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  z ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
6968a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  z
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
70 oveq2 5868 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
2  x.  z )  =  ( 2  x.  x ) )
7166, 40, 67, 66, 69, 70cnmpt21 17367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
7266, 40cnmpt2nd 17365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
734, 11phtpycn 18483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H ) 
C_  ( ( II 
tX  II )  Cn  J ) )
7473, 13sseldd 3183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
7566, 40, 71, 72, 74cnmpt22f 17371 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x ) M y ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  J
) )
76 iccssre 10733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
7731, 28, 76mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
78 resttopon 16894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
7961, 77, 78mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
8079a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
8180, 40cnmpt1st 17364 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
8224iihalf2cn 18434 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  z )  -  1 ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II )
8382a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  z )  -  1 ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
8470oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( 2  x.  z
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
8580, 40, 81, 80, 83, 84cnmpt21 17367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
8680, 40cnmpt2nd 17365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
878, 12phtpycn 18483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K ) 
C_  ( ( II 
tX  II )  Cn  J ) )
8887, 16sseldd 3183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
8980, 40, 85, 86, 88cnmpt22f 17371 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  J
) )
9022, 23, 24, 25, 27, 29, 38, 40, 60, 75, 89cnmpt2pc 18428 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
9121, 90syl5eqel 2369 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
92 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  ph )
93 elii1 18435 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( s  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  s  <_  ( 1  /  2 ) ) )
94 iihalf1 18431 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9593, 94sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9695adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
974, 11phtpyhtpy 18482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) H ) )
9897, 13sseldd 3183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( II Htpy  J ) H ) )
9940, 4, 11, 98htpyi 18474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2  x.  s ) M 0 )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) )  /\  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) ) )
10092, 96, 99syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( ( 2  x.  s ) M 0 )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) )  /\  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) ) )
101100simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  s
) M 0 )  =  ( F `  ( 2  x.  s
) ) )
102 iftrue 3573 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) )
103102adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) )
104 iftrue 3573 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) ) )
105104adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) ) )
106101, 103, 1053eqtr4d 2327 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
107 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  ph )
108 elii2 18436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  s  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  s  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
109108adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
110 iihalf2 18433 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  s
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
111109, 110syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  s )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1128, 12phtpyhtpy 18482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K ) 
C_  ( G ( II Htpy  J ) K ) )
113112, 16sseldd 3183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( II Htpy  J ) K ) )
11440, 8, 12, 113htpyi 18474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
2  x.  s )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) )  /\  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
115107, 111, 114syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 )  =  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  /\  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 )  =  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
116115simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
117 iffalse 3574 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )
118117adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )
119 iffalse 3574 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
120119adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
121116, 118, 1203eqtr4d 2327 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
122106, 121pm2.61dan 766 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
123 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1
) )
124 0elunit 10756 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
125 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  x  =  s )
126125breq1d 4035 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  s  <_  (
1  /  2 ) ) )
127125oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  s ) )
128 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  y  =  0 )
129127, 128oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( 2  x.  s
) M 0 ) )
130127oveq1d 5875 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) )
131130, 128oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )
132126, 129, 131ifbieq12d 3589 . . . . 5  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  if ( s  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 ) ) )
133 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  s ) M 0 )  e. 
_V
134 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 )  e. 
_V
135133, 134ifex 3625 . . . . 5  |-  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )  e.  _V
136132, 21, 135ovmpt2a 5980 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s P 0 )  =  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) ) )
137123, 124, 136sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 0 )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  s
) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) ) )
1384, 8pcovalg 18512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  s )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
139122, 137, 1383eqtr4d 2327 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 0 )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  s ) )
140100simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  s
) M 1 )  =  ( H `  ( 2  x.  s
) ) )
141 iftrue 3573 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) )
142141adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) )
143 iftrue 3573 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) )
144143adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) )
145140, 142, 1443eqtr4d 2327 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
146115simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
147 iffalse 3574 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )
148147adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )
149 iffalse 3574 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
150149adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
151146, 148, 1503eqtr4d 2327 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
152145, 151pm2.61dan 766 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
153 1elunit 10757 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
154 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  x  =  s )
155154breq1d 4035 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  s  <_  (
1  /  2 ) ) )
156154oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  s ) )
157 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  y  =  1 )
158156, 157oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( 2  x.  s
) M 1 ) )
159156oveq1d 5875 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) )
160159, 157oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )
161155, 158, 160ifbieq12d 3589 . . . . 5  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  if ( s  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 ) ) )
162 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  e. 
_V
163 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 )  e. 
_V
164162, 163ifex 3625 . . . . 5  |-  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )  e.  _V
165161, 21, 164ovmpt2a 5980 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s P 1 )  =  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) ) )
166123, 153, 165sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 1 )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  s
) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) ) )
16711, 12pcovalg 18512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H ( *p
`  J ) K ) `  s )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s ) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
168152, 166, 1673eqtr4d 2327 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 1 )  =  ( ( H ( *p `  J
) K ) `  s ) )
1694, 11, 13phtpyi 18484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 M s )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 M s )  =  ( F `
 1 ) ) )
170169simpld 445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 M s )  =  ( F ` 
0 ) )
171 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  x  =  0 )
172171, 33syl6eqbr 4062 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  x  <_  (
1  /  2 ) )
173 iftrue 3573 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )  =  ( ( 2  x.  x ) M y ) )
174172, 173syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( 2  x.  x ) M y ) )
175171oveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
17651mul01i 9004 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
177175, 176syl6eq 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  0 )
178 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  y  =  s )
179177, 178oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( 0 M s ) )
180174, 179eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( 0 M s ) )
181 ovex 5885 . . . . 5  |-  ( 0 M s )  e. 
_V
182180, 21, 181ovmpt2a 5980 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 P s )  =  ( 0 M s ) )
183124, 123, 182sylancr 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 P s )  =  ( 0 M s ) )
1844, 8pco0 18514 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
185184adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
186170, 183, 1853eqtr4d 2327 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 P s )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) ` 
0 ) )
1878, 12, 16phtpyi 18484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 N s )  =  ( G `
 0 )  /\  ( 1 N s )  =  ( G `
 1 ) ) )
188187simprd 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 N s )  =  ( G ` 
1 ) )
18931, 28ltnlei 8941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
19034, 189mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
191 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  x  =  1 )
192191breq1d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  1  <_  (
1  /  2 ) ) )
193190, 192mtbiri 294 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )
194 iffalse 3574 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )
195193, 194syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) )
196191oveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
19751mulid1i 8841 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
198196, 197syl6eq 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  2 )
199198oveq1d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( 2  -  1 ) )
200 ax-1cn 8797 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
201 1p1e2 9842 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
20251, 200, 200, 201subaddrii 9137 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
203199, 202syl6eq 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  1 )
204 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  y  =  s )
205203, 204oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( 1 N s ) )
206195, 205eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( 1 N s ) )
207 ovex 5885 . . . . 5  |-  ( 1 N s )  e. 
_V
208206, 21, 207ovmpt2a 5980 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 P s )  =  ( 1 N s ) )
209153, 123, 208sylancr 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 P s )  =  ( 1 N s ) )
2104, 8pco1 18515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
211210adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  1 )  =  ( G ` 
1 ) )
212188, 209, 2113eqtr4d 2327 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 P s )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) ` 
1 ) )
21310, 20, 91, 139, 168, 186, 212isphtpy2d 18487 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ifcif 3567   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ran crn 4692   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    e. cmpt2 5862   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039    / cdiv 9425   2c2 9797   (,)cioo 10658   [,]cicc 10661   ↾t crest 13327   topGenctg 13344  TopOnctopon 16634    Cn ccn 16956    tX ctx 17257   IIcii 18381   Htpy chtpy 18467   PHtpycphtpy 18468    ~=ph cphtpc 18469   *pcpco 18500
This theorem is referenced by:  pcohtpy  18520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-ii 18383  df-htpy 18470  df-phtpy 18471  df-phtpc 18492  df-pco 18505
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