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Theorem pcqmul 12868
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqmul  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) )

Proof of Theorem pcqmul
StepHypRef Expression
1 simp2l 986 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  e.  QQ )
2 elq 10285 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
31, 2sylib 190 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
4 simp3l 988 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  e.  QQ )
5 elq 10285 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
64, 5sylib 190 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
7 reeanv 2682 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
8 reeanv 2682 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
9 simp2r 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  0 )
10 simp3r 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  =/=  0 )
119, 10jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )
1211ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )
13 simp1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  P  e.  Prime )
14 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  e.  NN )
1514nncnd 9730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  e.  CC )
1614nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  =/=  0 )
1715, 16div0d 9503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( 0  /  y
)  =  0 )
18 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  y )  =  ( 0  / 
y ) )
1918eqeq1d 2266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  /  y
)  =  0  <->  (
0  /  y )  =  0 ) )
2017, 19syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  =  0  ->  ( x  / 
y )  =  0 ) )
2120necon3d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  =/=  0  ->  x  =/=  0 ) )
22 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  NN )
2322nncnd 9730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  CC )
2422nnne0d 9758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  =/=  0 )
2523, 24div0d 9503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( 0  /  w
)  =  0 )
26 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  0  ->  (
z  /  w )  =  ( 0  /  w ) )
2726eqeq1d 2266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  0  ->  (
( z  /  w
)  =  0  <->  (
0  /  w )  =  0 ) )
2825, 27syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( z  =  0  ->  ( z  /  w )  =  0 ) )
2928necon3d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( z  /  w )  =/=  0  ->  z  =/=  0 ) )
30 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  P  e.  Prime )
31 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
3331, 32zmulcld 10090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( x  x.  z
)  e.  ZZ )
3431zcnd 10085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  e.  CC )
3532zcnd 10085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  e.  CC )
36 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  =/=  0 )
37 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  =/=  0 )
3834, 35, 36, 37mulne0d 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( x  x.  z
)  =/=  0 )
3914adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  NN )
4022adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  NN )
4139, 40nnmulcld 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( y  x.  w
)  e.  NN )
42 pcdiv 12867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( x  x.  z
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  z
)  =/=  0 )  /\  ( y  x.  w )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P  pCnt  ( y  x.  w ) ) ) )
4330, 33, 38, 41, 42syl121anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P  pCnt  ( y  x.  w ) ) ) )
44 pcmul 12866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( x  x.  z
) )  =  ( ( P  pCnt  x
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )
4530, 31, 36, 32, 37, 44syl122anc 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  x.  z ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z ) ) )
4639nnzd 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
4716adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  =/=  0 )
4840nnzd 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  ZZ )
4924adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  =/=  0 )
50 pcmul 12866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( w  e.  ZZ  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  w
) )  =  ( ( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  w ) ) )
5130, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
y  x.  w ) )  =  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  w ) ) )
5245, 51oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P 
pCnt  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z ) )  -  (
( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
53 pczcl 12863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  NN0 )
5430, 31, 36, 53syl12anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  NN0 )
5554nn0cnd 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  CC )
56 pczcl 12863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  NN0 )
5730, 32, 37, 56syl12anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  NN0 )
5857nn0cnd 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  CC )
5930, 39pccld 12865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  NN0 )
6059nn0cnd 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  CC )
6130, 40pccld 12865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  NN0 )
6261nn0cnd 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  CC )
6355, 58, 60, 62addsub4d 9172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( ( P 
pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z )
)  -  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  w ) ) )  =  ( ( ( P 
pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) )  +  ( ( P 
pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) ) )
6443, 52, 633eqtrd 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x
)  -  ( P 
pCnt  y ) )  +  ( ( P 
pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) ) )
6515adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  CC )
6623adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  CC )
6734, 65, 35, 66, 47, 49divmuldivd 9545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) )  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )
6867oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  /  y
)  x.  ( z  /  w ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( x  x.  z )  / 
( y  x.  w
) ) ) )
69 pcdiv 12867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7030, 31, 36, 39, 69syl121anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
71 pcdiv 12867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 )  /\  w  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
7230, 32, 37, 40, 71syl121anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
7370, 72oveq12d 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) )  +  ( ( P  pCnt  z
)  -  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
7464, 68, 733eqtr4d 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  /  y
)  x.  ( z  /  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P  pCnt  ( z  /  w ) ) ) )
7574expr 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
7621, 29, 75syl2and 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( x  /  y )  =/=  0  /\  ( z  /  w )  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
77 neeq1 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( x  /  y )  =/=  0 ) )
78 neeq1 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( B  =/=  0  <->  ( z  /  w )  =/=  0
) )
7977, 78bi2anan9 848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  <->  ( (
x  /  y )  =/=  0  /\  (
z  /  w )  =/=  0 ) ) )
80 oveq12 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w ) ) )
8180oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( P 
pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) ) )
82 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( P  pCnt  A )  =  ( P  pCnt  (
x  /  y ) ) )
83 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( P  pCnt  B )  =  ( P  pCnt  (
z  /  w ) ) )
8482, 83oveqan12d 5811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) )
8581, 84eqeq12d 2272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) )  <->  ( P  pCnt  ( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
8679, 85imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) )  <-> 
( ( ( x  /  y )  =/=  0  /\  ( z  /  w )  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) ) )
8776, 86syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  (
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) ) )
8813, 87sylanl1 634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  (
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) ) )
8912, 88mpid 39 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
9089rexlimdvva 2649 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
918, 90syl5bir 211 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  ( ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) ) )
9291rexlimdvva 2649 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
937, 92syl5bir 211 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
943, 6, 93mp2and 663 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   E.wrex 2519  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705    + caddc 8708    x. cmul 8710    - cmin 9005    / cdiv 9391   NNcn 9714   NN0cn0 9932   ZZcz 9991   QQcq 10283   Primecprime 12720    pCnt cpc 12851
This theorem is referenced by:  pcqdiv  12872  pcexp  12874  pcaddlem  12898  sylow1lem1  14871  padicabv  20741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-divides 12494  df-gcd 12648  df-prime 12721  df-pc 12852
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