MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcqmul Unicode version

Theorem pcqmul 12900
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqmul  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) )
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem pcqmul
StepHypRef Expression
1 simp2l 983 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  e.  QQ )
2 elq 10313 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
31, 2sylib 190 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
4 simp3l 985 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  e.  QQ )
5 elq 10313 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
64, 5sylib 190 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
7 reeanv 2708 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
8 reeanv 2708 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
9 simp2r 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  0 )
10 simp3r 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  =/=  0 )
119, 10jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )
1211ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )
13 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  P  e.  Prime )
14 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  e.  NN )
1514nncnd 9757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  e.  CC )
1614nnne0d 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  =/=  0 )
1715, 16div0d 9530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( 0  /  y
)  =  0 )
18 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  y )  =  ( 0  / 
y ) )
1918eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  /  y
)  =  0  <->  (
0  /  y )  =  0 ) )
2017, 19syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  =  0  ->  ( x  / 
y )  =  0 ) )
2120necon3d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  =/=  0  ->  x  =/=  0 ) )
22 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  NN )
2322nncnd 9757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  CC )
2422nnne0d 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  =/=  0 )
2523, 24div0d 9530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( 0  /  w
)  =  0 )
26 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  0  ->  (
z  /  w )  =  ( 0  /  w ) )
2726eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  0  ->  (
( z  /  w
)  =  0  <->  (
0  /  w )  =  0 ) )
2825, 27syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( z  =  0  ->  ( z  /  w )  =  0 ) )
2928necon3d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( z  /  w )  =/=  0  ->  z  =/=  0 ) )
30 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  P  e.  Prime )
31 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
3331, 32zmulcld 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( x  x.  z
)  e.  ZZ )
3431zcnd 10113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  e.  CC )
3532zcnd 10113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  e.  CC )
36 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  =/=  0 )
37 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  =/=  0 )
3834, 35, 36, 37mulne0d 9415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( x  x.  z
)  =/=  0 )
3914adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  NN )
4022adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  NN )
4139, 40nnmulcld 9788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( y  x.  w
)  e.  NN )
42 pcdiv 12899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( x  x.  z
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  z
)  =/=  0 )  /\  ( y  x.  w )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P  pCnt  ( y  x.  w ) ) ) )
4330, 33, 38, 41, 42syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P  pCnt  ( y  x.  w ) ) ) )
44 pcmul 12898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( x  x.  z
) )  =  ( ( P  pCnt  x
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )
4530, 31, 36, 32, 37, 44syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  x.  z ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z ) ) )
4639nnzd 10111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
4716adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  =/=  0 )
4840nnzd 10111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  ZZ )
4924adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  =/=  0 )
50 pcmul 12898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( w  e.  ZZ  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  w
) )  =  ( ( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  w ) ) )
5130, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
y  x.  w ) )  =  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  w ) ) )
5245, 51oveq12d 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P 
pCnt  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z ) )  -  (
( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
53 pczcl 12895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  NN0 )
5430, 31, 36, 53syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  NN0 )
5554nn0cnd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  CC )
56 pczcl 12895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  NN0 )
5730, 32, 37, 56syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  NN0 )
5857nn0cnd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  CC )
5930, 39pccld 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  NN0 )
6059nn0cnd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  CC )
6130, 40pccld 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  NN0 )
6261nn0cnd 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  CC )
6355, 58, 60, 62addsub4d 9199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( ( P 
pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z )
)  -  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  w ) ) )  =  ( ( ( P 
pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) )  +  ( ( P 
pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) ) )
6443, 52, 633eqtrd 2320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x
)  -  ( P 
pCnt  y ) )  +  ( ( P 
pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) ) )
6515adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  CC )
6623adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  CC )
6734, 65, 35, 66, 47, 49divmuldivd 9572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) )  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )
6867oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  /  y
)  x.  ( z  /  w ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( x  x.  z )  / 
( y  x.  w
) ) ) )
69 pcdiv 12899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7030, 31, 36, 39, 69syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
71 pcdiv 12899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 )  /\  w  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
7230, 32, 37, 40, 71syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
7370, 72oveq12d 5837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) )  +  ( ( P  pCnt  z
)  -  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
7464, 68, 733eqtr4d 2326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  /  y
)  x.  ( z  /  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P  pCnt  ( z  /  w ) ) ) )
7574expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
7621, 29, 75syl2and 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( x  /  y )  =/=  0  /\  ( z  /  w )  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
77 neeq1 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( x  /  y )  =/=  0 ) )
78 neeq1 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( B  =/=  0  <->  ( z  /  w )  =/=  0
) )
7977, 78bi2anan9 845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  <->  ( (
x  /  y )  =/=  0  /\  (
z  /  w )  =/=  0 ) ) )
80 oveq12 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w ) ) )
8180oveq2d 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( P 
pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) ) )
82 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( P  pCnt  A )  =  ( P  pCnt  (
x  /  y ) ) )
83 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( P  pCnt  B )  =  ( P  pCnt  (
z  /  w ) ) )
8482, 83oveqan12d 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) )
8581, 84eqeq12d 2298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) )  <->  ( P  pCnt  ( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
8679, 85imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) )  <-> 
( ( ( x  /  y )  =/=  0  /\  ( z  /  w )  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) ) )
8776, 86syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  (
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) ) )
8813, 87sylanl1 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  (
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) ) )
8912, 88mpid 39 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
9089rexlimdvva 2675 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
918, 90syl5bir 211 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  ( ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) ) )
9291rexlimdvva 2675 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
937, 92syl5bir 211 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
943, 6, 93mp2and 662 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   E.wrex 2545  (class class class)co 5819   CCcc 8730   0cc0 8732    + caddc 8735    x. cmul 8737    - cmin 9032    / cdiv 9418   NNcn 9741   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   QQcq 10311   Primecprime 12752    pCnt cpc 12883
This theorem is referenced by:  pcqdiv  12904  pcexp  12906  pcaddlem  12930  sylow1lem1  14903  padicabv  20773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-prm 12753  df-pc 12884
  Copyright terms: Public domain W3C validator