Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcval Structured version   Unicode version

Theorem pcval 13218
 Description: The value of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1
pcval.2
Assertion
Ref Expression
pcval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem pcval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6
21eqeq1d 2444 . . . . 5
3 eqeq1 2442 . . . . . . . 8
4 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
54breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13
65rabbidv 2948 . . . . . . . . . . . 12
76supeq1d 7451 . . . . . . . . . . 11
8 pcval.1 . . . . . . . . . . 11
97, 8syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10
104breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13
1110rabbidv 2948 . . . . . . . . . . . 12
1211supeq1d 7451 . . . . . . . . . . 11
13 pcval.2 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10
159, 14oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
1615eqeq2d 2447 . . . . . . . 8
173, 16bi2anan9r 845 . . . . . . 7
18172rexbidv 2748 . . . . . 6
1918iotabidv 5439 . . . . 5
202, 19ifbieq2d 3759 . . . 4
21 df-pc 13211 . . . 4
22 pnfxr 10713 . . . . . 6
2322elexi 2965 . . . . 5
24 iotaex 5435 . . . . 5
2523, 24ifex 3797 . . . 4
2620, 21, 25ovmpt2a 6204 . . 3
27 ifnefalse 3747 . . 3
2826, 27sylan9eq 2488 . 2
2928anasss 629 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706  crab 2709  cif 3739   class class class wbr 4212  cio 5416  (class class class)co 6081  csup 7445  cr 8989  cc0 8990   cpnf 9117  cxr 9119   clt 9120   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  cn0 10221  cz 10282  cq 10574  cexp 11382   cdivides 12852  cprime 13079   cpc 13210 This theorem is referenced by:  pczpre  13221  pcdiv  13226 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-xr 9124  df-pc 13211
 Copyright terms: Public domain W3C validator