MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczdvds Unicode version

Theorem pczdvds 12863
Description: Defining property of the prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pczdvds  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) ) 
||  N )

Proof of Theorem pczdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . . 4  |-  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  )
21pczpre 12848 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)
32oveq2d 5794 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) )  =  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) )
4 prmuz2 12724 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5 eqid 2256 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N }
65, 1pcprecl 12840 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( sup ( { n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  NN0  /\  ( P ^ sup ( { n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)  ||  N )
)
76simprd 451 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)  ||  N )
84, 7sylan 459 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)  ||  N )
93, 8eqbrtrd 4003 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) ) 
||  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621    =/= wne 2419   {crab 2520   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   supcsup 7147   RRcr 8690   0cc0 8691    < clt 8821   2c2 9749   NN0cn0 9918   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183   ^cexp 11056    || cdivides 12479   Primecprime 12706    pCnt cpc 12837
This theorem is referenced by:  pcdvds  12864  pcdvdsb  12869  pcdvdstr  12876  pcgcd1  12877  pcadd  12885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-prime 12707  df-pc 12838
  Copyright terms: Public domain W3C validator