MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Structured version   Unicode version

Theorem peano1 4865
Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 4865 through peano5 4869 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 4861 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4644 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 8 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   (/)c0 3629   Lim wlim 4583   omcom 4846
This theorem is referenced by:  onnseq  6607  rdg0  6680  fr0g  6694  seqomlem3  6710  oa1suc  6776  om1  6786  oe1  6788  nna0r  6853  nnm0r  6854  nnmcl  6856  nnecl  6857  nnmsucr  6869  nnaword1  6873  nnaordex  6882  1onn  6883  oaabs2  6889  nnm1  6892  nneob  6896  omopth  6902  snfi  7188  0sdom1dom  7307  0fin  7337  findcard2  7349  nnunifi  7359  unblem2  7361  infn0  7370  unfilem3  7374  dffi3  7437  inf0  7577  infeq5i  7592  axinf2  7596  dfom3  7603  infdifsn  7612  noinfep  7615  noinfepOLD  7616  cantnflt  7628  cnfcomlem  7657  cnfcom  7658  cnfcom2lem  7659  cnfcom3lem  7661  cnfcom3  7662  trcl  7665  rankdmr1  7728  rankeq0b  7787  cardlim  7860  infxpenc  7900  infxpenc2  7904  alephgeom  7964  alephfplem4  7989  ackbij1lem13  8113  ackbij1  8119  ackbij1b  8120  ominf4  8193  fin23lem16  8216  fin23lem31  8224  fin23lem40  8232  isf32lem9  8242  isf34lem7  8260  isf34lem6  8261  fin1a2lem6  8286  fin1a2lem7  8287  fin1a2lem11  8291  axdc3lem2  8332  axdc3lem4  8334  axdc4lem  8336  axcclem  8338  axdclem2  8401  pwfseqlem5  8539  omina  8567  wunex3  8617  1lt2pi  8783  1nn  10012  om2uzrani  11293  uzrdg0i  11300  fzennn  11308  axdc4uzlem  11322  hash1  11674  ltbwe  16534  2ndcdisj2  17521  snct  24104  trpredpred  25507  0hf  26119  neibastop2lem  26390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847
  Copyright terms: Public domain W3C validator