Theorem peano2b 3234

Description: A class belongs to omega iff its successor does.

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- (A e. om <-> suc A e. om)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3233	. 2 |- Lim om
2		limsuc 3203	. 2 |- (Lim om -> (A e. om <-> suc A e. om))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A e. om <-> suc A e. om)

Syntax hints:   <-> wb 144   e. wcel 994  Lim wlim 2976  suc csuc 2977  omcom 3218

This theorem is referenced by:  nnsuc 3235  peano2 3238  peano5 3241  frsuc 4254  nnacom 4373  nnmsucr 4380  omsmolem 4396  php 4660  php4 4663  omsucdom 4669  unblem1 4686  isfinite2 4692  inf0 4751  inf3lem1 4758  inf3lem5 4762  sucdom 4992  nnacda 5090  indpi 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219

Copyright terms: Public domain