Theorem peano2b 3142

Description: A class belongs to omega iff its successor does.

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- (A e. om <-> suc A e. om)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3141	. 2 |- Lim om
2		limsuc 3115	. 2 |- (Lim om -> (A e. om <-> suc A e. om))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A e. om <-> suc A e. om)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 956  Lim wlim 2944  suc csuc 2945  omcom 3126

This theorem is referenced by:  nnsuc 3143  peano2 3145  peano5 3148  frsuct 3944  nnacom 4223  nnmsucr 4230  omsmolem 4246  php 4499  php4 4502  omsucdom 4508  unblem1 4523  isfinite2 4529  inf0 4586  inf3lem1 4593  inf3lem5 4597  sucdom 4822  indpi 5014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127

Copyright terms: Public domain