MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn 10004
Description: Peano postulate: a successor of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6684 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
2 fvelrnb 5766 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  ->  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  <->  E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  <->  E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A )
4 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  +  1 )  e.  _V
5 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
6 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
7 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
85, 6, 7frsucmpt2 6689 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
94, 8mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  =  ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
10 peano2 4857 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
11 fnfvelrn 5859 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\ 
suc  y  e.  om )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e. 
ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
)
121, 10, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e.  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) )
13 df-nn 9993 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
14 df-ima 4883 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
1513, 14eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
1612, 15syl6eleqr 2526 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e.  NN )
179, 16eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  NN )
18 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
1918eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  NN  <->  ( A  + 
1 )  e.  NN ) )
2017, 19syl5ibcom 212 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  A  ->  ( A  + 
1 )  e.  NN ) )
2120rexlimiv 2816 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( A  +  1 )  e.  NN )
223, 21sylbi 188 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2322, 15eleq2s 2527 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    e. cmpt 4258   suc csuc 4575   omcom 4837   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   reccrdg 6659   1c1 8983    + caddc 8985   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  dfnn2  10005  dfnn3  10006  peano2nnd  10009  nnind  10010  nnaddcl  10014  2nn  10125  3nn  10126  4nn  10127  5nn  10128  6nn  10129  7nn  10130  8nn  10131  9nn  10132  10nn  10133  nnunb  10209  nneo  10345  ser1const  11371  expp1  11380  facp1  11563  isercolllem1  12450  isercoll2  12454  climcndslem2  12622  climcnds  12623  harmonic  12630  trireciplem  12633  trirecip  12634  rpnnen2lem9  12814  sqr2irr  12840  rplpwr  13048  prmind2  13082  eulerthlem2  13163  pcmpt  13253  pockthi  13267  prmreclem6  13281  dec5nprm  13394  mulgnnp1  14890  1stcfb  17500  bcthlem3  19271  bcthlem4  19272  ovolunlem1a  19384  ovolicc2lem4  19408  voliunlem1  19436  volsup  19442  volsup2  19489  itg1climres  19598  mbfi1fseqlem5  19603  itg2monolem1  19634  itg2i1fseqle  19638  itg2i1fseq  19639  itg2i1fseq2  19640  itg2addlem  19642  itg2gt0  19644  itg2cnlem1  19645  aaliou3lem7  20258  emcllem1  20826  emcllem2  20827  emcllem3  20828  emcllem5  20830  emcllem6  20831  emcllem7  20832  bclbnd  21056  bposlem5  21064  2sqlem10  21150  dchrisumlem2  21176  logdivbnd  21242  pntrsumo1  21251  pntrsumbnd  21252  gxnn0suc  21844  opsqrlem5  23639  opsqrlem6  23640  esumpmono  24461  rrvsum  24704  zetacvg  24791  lgam1  24840  subfacp1lem6  24863  subfaclim  24866  iprodgam  25311  faclimlem1  25354  faclimlem2  25355  faclim2  25359  mblfinlem  26234  volsupnfl  26241  nn0prpwlem  26316  seqpo  26442  incsequz  26443  incsequz2  26444  geomcau  26456  heiborlem6  26516  bfplem1  26522  jm2.27dlem4  27074  stoweidlem20  27736  wallispilem4  27784  wallispi2lem1  27787  wallispi2lem2  27788  stirlinglem4  27793  stirlinglem8  27797  stirlinglem11  27800  stirlinglem12  27801  stirlinglem13  27802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator