MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn0 10252
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10229 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10247 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 653 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   1c1 8983    + caddc 8985   NN0cn0 10213
This theorem is referenced by:  leexp2r  11429  expnbnd  11500  facdiv  11570  facwordi  11572  faclbnd  11573  faclbnd2  11574  faclbnd3  11575  faclbnd6  11582  bcnp1n  11597  bcp1m1  11603  bcpasc  11604  hashfz  11684  hashf1  11698  brfi1indlem  11706  brfi1uzind  11707  swrds2  11872  iseraltlem2  12468  bcxmas  12607  climcndslem1  12621  climcnds  12623  geolim  12639  geo2sum  12642  mertenslem1  12653  mertenslem2  12654  mertens  12655  efcllem  12672  eftlub  12702  efsep  12703  effsumlt  12704  ruclem9  12829  bitsp1  12935  sadcp1  12959  smuval2  12986  smu01lem  12989  smup1  12993  nn0seqcvgd  13053  algcvg  13059  nonsq  13143  iserodd  13201  pcprendvds  13206  pcpremul  13209  pcdvdsb  13234  4sqlem11  13315  vdwapun  13334  vdwlem1  13341  vdwlem9  13349  ramub1  13388  ramcl  13389  decexp2  13403  sylow1lem3  15226  efgsfo  15363  efgred  15372  cpnord  19813  ply1divex  20051  fta1glem1  20080  fta1glem2  20081  fta1g  20082  plyco0  20103  plyaddlem1  20124  plymullem1  20125  plyco  20152  dvply1  20193  dvply2g  20194  aaliou3lem8  20254  aaliou3lem9  20259  dvtaylp  20278  dvradcnv  20329  pserdvlem2  20336  advlogexp  20538  atantayl3  20771  leibpi  20774  log2cnv  20776  ftalem4  20850  ftalem5  20851  perfectlem1  21005  bcp1ctr  21055  dchrisum0flblem1  21194  ostth2lem2  21320  ostth2lem3  21321  eupap1  21690  eupath2lem3  21693  eupath2  21694  subfacval2  24865  erdsze2lem1  24881  risefacp1  25337  fallfacp1  25338  binomfallfaclem1  25347  binomfallfaclem2  25348  fsumkthpow  26094  heiborlem3  26513  heiborlem4  26514  heiborlem6  26516  2rexfrabdioph  26847  elnn0rabdioph  26854  dvdsrabdioph  26861  jm2.17a  27016  jm2.17b  27017  expdiophlem1  27083  expdiophlem2  27084  hbt  27302  stoweidlem17  27733  wallispilem1  27781  stirlinglem5  27794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-nn 9993  df-n0 10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator