MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn0 10265
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10242 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10260 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 654 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   1c1 8996    + caddc 8998   NN0cn0 10226
This theorem is referenced by:  leexp2r  11442  expnbnd  11513  facdiv  11583  facwordi  11585  faclbnd  11586  faclbnd2  11587  faclbnd3  11588  faclbnd6  11595  bcnp1n  11610  bcp1m1  11616  bcpasc  11617  hashfz  11697  hashf1  11711  brfi1indlem  11719  brfi1uzind  11720  swrds2  11885  iseraltlem2  12481  bcxmas  12620  climcndslem1  12634  climcnds  12636  geolim  12652  geo2sum  12655  mertenslem1  12666  mertenslem2  12667  mertens  12668  efcllem  12685  eftlub  12715  efsep  12716  effsumlt  12717  ruclem9  12842  bitsp1  12948  sadcp1  12972  smuval2  12999  smu01lem  13002  smup1  13006  nn0seqcvgd  13066  algcvg  13072  nonsq  13156  iserodd  13214  pcprendvds  13219  pcpremul  13222  pcdvdsb  13247  4sqlem11  13328  vdwapun  13347  vdwlem1  13354  vdwlem9  13362  ramub1  13401  ramcl  13402  decexp2  13416  sylow1lem3  15239  efgsfo  15376  efgred  15385  cpnord  19826  ply1divex  20064  fta1glem1  20093  fta1glem2  20094  fta1g  20095  plyco0  20116  plyaddlem1  20137  plymullem1  20138  plyco  20165  dvply1  20206  dvply2g  20207  aaliou3lem8  20267  aaliou3lem9  20272  dvtaylp  20291  dvradcnv  20342  pserdvlem2  20349  advlogexp  20551  atantayl3  20784  leibpi  20787  log2cnv  20789  ftalem4  20863  ftalem5  20864  perfectlem1  21018  bcp1ctr  21068  dchrisum0flblem1  21207  ostth2lem2  21333  ostth2lem3  21334  eupap1  21703  eupath2lem3  21706  eupath2  21707  subfacval2  24878  erdsze2lem1  24894  risefacp1  25350  fallfacp1  25351  binomfallfaclem1  25360  binomfallfaclem2  25361  fsumkthpow  26107  heiborlem3  26536  heiborlem4  26537  heiborlem6  26539  2rexfrabdioph  26870  elnn0rabdioph  26877  dvdsrabdioph  26884  jm2.17a  27039  jm2.17b  27040  expdiophlem1  27106  expdiophlem2  27107  hbt  27325  stoweidlem17  27756  wallispilem1  27804  stirlinglem5  27817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-nn 10006  df-n0 10227
  Copyright terms: Public domain W3C validator