MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Unicode version

Theorem peano2uz 10522
Description: Second Peano postulate for a set of upper integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
2 peano2z 10310 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
323ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4 zre 10278 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10278 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 letrp1 9844 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
75, 6syl3an2 1218 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
84, 7syl3an1 1217 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
91, 3, 83jca 1134 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  +  1 ) ) )
10 eluz2 10486 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
11 eluz2 10486 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  +  1 ) ) )
129, 10, 113imtr4i 258 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985    <_ cle 9113   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480
This theorem is referenced by:  peano2uzs  10523  peano2uzr  10524  uzaddcl  10525  fzsplit  11069  fzssp1  11087  fzsuc  11088  fzp1ss  11090  fzp1elp1  11092  fztp  11094  fzneuz  11120  fzofzp1  11181  fzosplitsn  11187  fzostep1  11189  om2uzuzi  11281  uzrdgsuci  11292  fzen2  11300  fzfi  11303  seqsplit  11348  seqf1olem1  11354  seqf1olem2  11355  seqz  11363  faclbnd3  11575  bcm1k  11598  seqcoll  11704  seqcoll2  11705  swrds1  11779  clim2ser  12440  clim2ser2  12441  serf0  12466  iseraltlem2  12468  iseralt  12470  fsump1  12532  fsump1i  12545  fsumparts  12577  cvgcmp  12587  isum1p  12613  isumsup2  12618  climcndslem1  12621  climcndslem2  12622  climcnds  12623  cvgrat  12652  mertenslem1  12653  pcfac  13260  dvply2g  20194  aaliou3lem2  20252  ppinprm  20927  chtnprm  20929  ppiublem1  20978  chtublem  20987  chtub  20988  bposlem6  21065  pntlemf  21291  ostth2lem2  21320  fzsplit3  24142  esumcvg  24468  clim2prod  25208  clim2div  25209  ntrivcvgfvn0  25219  fprodntriv  25260  fprodp1  25284  fprodabs  25289  iprodefisumlem  25309  binomfallfaclem2  25348  sdclem2  26437  fdc  26440  mettrifi  26454  bfplem2  26523  rexrabdioph  26845  monotuz  26995  wallispilem1  27781  fzosplitsnm1  28114
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
  Copyright terms: Public domain W3C validator