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Theorem peano5 4869
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43, except our proof does not require the Axiom of Infinity. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction hypothesis, is derived from this theorem as theorem findes 4876. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 3471 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  y  e.  A )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
3 eldifi 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  y  e.  om )
43adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  e.  om )
5 elndif 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  (/)  e.  ( om  \  A ) )
6 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  <->  (/)  e.  ( om 
\  A ) ) )
76biimpcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( y  =  (/)  ->  (/)  e.  ( om  \  A ) ) )
87necon3bd 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( om  \  A
)  ->  y  =/=  (/) ) )
95, 8mpan9 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  =/=  (/) )
10 nnsuc 4863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
114, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1211adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1312adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
14 nfra1 2757 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)
15 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
1614, 15nfan 1847 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. x  e. 
om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  /\  (
y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )
17 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  A
18 rsp 2767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )
19 vex 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
2019sucid 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
suc  x
21 eleq2 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  suc  x
) )
2220, 21mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  ->  x  e.  y )
23 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
24 peano2b 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  om  <->  suc  x  e. 
om )
2523, 24syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  x  e.  om ) )
26 minel 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  -.  x  e.  ( om  \  A ) )
27 neldif 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  om  /\  -.  x  e.  ( om  \  A ) )  ->  x  e.  A
)
2826, 27sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  A )
2928exp32 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
3025, 29syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) ) )
3122, 30mpid 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
323, 31syl5 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  ( om  \  A )  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) )
3332imp3a 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  A
) )
34 eleq1a 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  x  e.  A  -> 
( y  =  suc  x  ->  y  e.  A
) )
3534com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( suc  x  e.  A  ->  y  e.  A
) )
3633, 35imim12d 71 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A
) ) )
3736com13 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3818, 37sylan9 640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  e.  om  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3916, 17, 38rexlimd 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4039exp32 590 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) ) )
4241imp41 578 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4313, 42mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A )
442, 43mtand 642 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4544nrexdv 2810 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  -.  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
46 ordom 4855 . . . . 5  |-  Ord  om
47 difss 3475 . . . . 5  |-  ( om 
\  A )  C_  om
48 tz7.5 4603 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  ( om  \  A )  C_  om 
/\  ( om  \  A
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4946, 47, 48mp3an12 1270 . . . 4  |-  ( ( om  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
5049necon1bi 2648 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
5145, 50syl 16 . 2  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
52 ssdif0 3687 . 2  |-  ( om  C_  A  <->  ( om  \  A
)  =  (/) )
5351, 52sylibr 205 1  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706   E.wrex 2707    \ cdif 3318    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3629   Ord word 4581   suc csuc 4584   omcom 4846
This theorem is referenced by:  find  4871  finds  4872  finds2  4874  omex  7599  dfom3  7603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847
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