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Theorem peano5nni 9995
Description: Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano5nni  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5nni
Dummy variables  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nn 9993 . . 3  |-  NN  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
2 df-ima 4883 . . 3  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
31, 2eqtri 2455 . 2  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
4 frfnom 6684 . . . . 5  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om )
6 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) ) )
76eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
) )
8 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z ) )
98eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  e.  A ) )
10 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z ) )
1110eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
12 ax-1cn 9040 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
13 fr0g 6685 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1 )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1
15 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
1  e.  A )
1614, 15syl5eqel 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
)
17 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
1817eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
1918rspccv 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2019ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
21 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  _V
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
23 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  n  ->  (
y  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
24 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2522, 23, 24frsucmpt2 6689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2621, 25mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  om  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2726eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A  <->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2827adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z
)  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
2920, 28sylibrd 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
3029expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) ) )
317, 9, 11, 16, 30finds2 4865 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3231com12 29 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3332ralrimiv 2780 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  A. y  e.  om  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
)
34 ffnfv 5886 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\  A. y  e.  om  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
355, 33, 34sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A )
36 frn 5589 . . 3  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
3735, 36syl 16 . 2  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
383, 37syl5eqss 3384 1  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620    e. cmpt 4258   suc csuc 4575   omcom 4837   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   reccrdg 6659   CCcc 8980   1c1 8983    + caddc 8985   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  nnssre  9996  dfnn2  10005  nnind  10010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-1cn 9040
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993
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