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Theorem peano5nni 9745
Description: Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano5nni  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5nni
Dummy variables  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nn 9743 . . 3  |-  NN  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
2 df-ima 4701 . . 3  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
31, 2eqtri 2304 . 2  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
4 frfnom 6443 . . . . 5  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om )
6 fveq2 5486 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) ) )
76eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
) )
8 fveq2 5486 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z ) )
98eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  e.  A ) )
10 fveq2 5486 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z ) )
1110eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
12 ax-1cn 8791 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
13 fr0g 6444 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1 )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1
15 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
1  e.  A )
1614, 15syl5eqel 2368 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
)
17 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
1817eleq1d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
1918rspccv 2882 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2019ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
21 ovex 5845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  _V
22 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
23 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  n  ->  (
y  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
24 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2522, 23, 24frsucmpt2 6448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2621, 25mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  om  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2726eleq1d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A  <->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2827adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z
)  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
2920, 28sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
3029expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) ) )
317, 9, 11, 16, 30finds2 4683 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3231com12 27 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3332ralrimiv 2626 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  A. y  e.  om  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
)
34 ffnfv 5647 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\  A. y  e.  om  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
355, 33, 34sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A )
36 frn 5361 . . 3  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
3735, 36syl 15 . 2  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
383, 37syl5eqss 3223 1  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456    e. cmpt 4078   suc csuc 4393   omcom 4655   ran crn 4689    |` cres 4690   "cima 4691    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   reccrdg 6418   CCcc 8731   1c1 8734    + caddc 8736   NNcn 9742
This theorem is referenced by:  nnssre  9746  dfnn2  9755  nnind  9760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-1cn 8791
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-nn 9743
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