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Theorem peano5nni 9959
Description: Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano5nni  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5nni
Dummy variables  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nn 9957 . . 3  |-  NN  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
2 df-ima 4850 . . 3  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
31, 2eqtri 2424 . 2  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
4 frfnom 6651 . . . . 5  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om )
6 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) ) )
76eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
) )
8 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z ) )
98eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  e.  A ) )
10 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z ) )
1110eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
12 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
13 fr0g 6652 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1 )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1
15 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
1  e.  A )
1614, 15syl5eqel 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
)
17 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
1817eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
1918rspccv 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2019ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
21 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  _V
22 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
23 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  n  ->  (
y  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
24 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2522, 23, 24frsucmpt2 6656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2621, 25mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  om  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2726eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A  <->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2827adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z
)  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
2920, 28sylibrd 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
3029expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) ) )
317, 9, 11, 16, 30finds2 4832 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3231com12 29 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3332ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  A. y  e.  om  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
)
34 ffnfv 5853 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\  A. y  e.  om  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
355, 33, 34sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A )
36 frn 5556 . . 3  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
3735, 36syl 16 . 2  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
383, 37syl5eqss 3352 1  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588    e. cmpt 4226   suc csuc 4543   omcom 4804   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  nnssre  9960  dfnn2  9969  nnind  9974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-1cn 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957
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