Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfund14 Structured version   Unicode version

Theorem pellfund14 26999
 Description: Every positive Pell solution is a power of the fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfund14 NN Pell14QR PellFund
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem pellfund14
StepHypRef Expression
1 pell14qrrp 26961 . . . 4 NN Pell14QR
2 pellfundrp 26989 . . . . 5 NN PellFund
32adantr 453 . . . 4 NN Pell14QR PellFund
4 pellfundne1 26990 . . . . 5 NN PellFund
54adantr 453 . . . 4 NN Pell14QR PellFund
6 reglogcl 26991 . . . 4 PellFund PellFund PellFund
71, 3, 5, 6syl3anc 1185 . . 3 NN Pell14QR PellFund
87flcld 11238 . 2 NN Pell14QR PellFund
9 pell14qrre 26958 . . . 4 NN Pell14QR
109recnd 9145 . . 3 NN Pell14QR
113, 8rpexpcld 11577 . . . 4 NN Pell14QR PellFund PellFund
1211rpcnd 10681 . . 3 NN Pell14QR PellFund PellFund
138znegcld 10408 . . . . 5 NN Pell14QR PellFund
143, 13rpexpcld 11577 . . . 4 NN Pell14QR PellFund PellFund
1514rpcnd 10681 . . 3 NN Pell14QR PellFund PellFund
1614rpne0d 10684 . . 3 NN Pell14QR PellFund PellFund
17 simpl 445 . . . . 5 NN Pell14QR NN
18 pell1qrss14 26969 . . . . . . . . 9 NN Pell1QR Pell14QR
19 pellfundex 26987 . . . . . . . . 9 NN PellFund Pell1QR
2018, 19sseldd 3335 . . . . . . . 8 NN PellFund Pell14QR
2120adantr 453 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund Pell14QR
22 pell14qrexpcl 26968 . . . . . . 7 NN PellFund Pell14QR PellFund PellFund PellFund Pell14QR
2317, 21, 13, 22syl3anc 1185 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund PellFund Pell14QR
24 pell14qrmulcl 26964 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund PellFund Pell14QR PellFund PellFund Pell14QR
2523, 24mpd3an3 1281 . . . . 5 NN Pell14QR PellFund PellFund Pell14QR
26 1rp 10647 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR
28 modge0 11288 . . . . . . . . 9 PellFund PellFund
297, 27, 28syl2anc 644 . . . . . . . 8 NN Pell14QR PellFund
307recnd 9145 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR PellFund
318zcnd 10407 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR PellFund
3230, 31negsubd 9448 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund
33 modfrac 11292 . . . . . . . . . 10 PellFund PellFund PellFund PellFund
347, 33syl 16 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund
3532, 34eqtr4d 2477 . . . . . . . 8 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund
3629, 35breqtrrd 4263 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund PellFund
37 reglog1 26997 . . . . . . . 8 PellFund PellFund PellFund
383, 5, 37syl2anc 644 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund
39 reglogmul 26994 . . . . . . . . 9 PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
401, 14, 3, 5, 39syl112anc 1189 . . . . . . . 8 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
41 reglogexpbas 26998 . . . . . . . . . 10 PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
4213, 3, 5, 41syl12anc 1183 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund
4342oveq2d 6126 . . . . . . . 8 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
4440, 43eqtrd 2474 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
4536, 38, 443brtr4d 4267 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund
461, 14rpmulcld 10695 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund PellFund
47 pellfundgt1 26984 . . . . . . . 8 NN PellFund
4847adantr 453 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund
49 reglogleb 26993 . . . . . . 7 PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
5027, 46, 3, 48, 49syl22anc 1186 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
5145, 50mpbird 225 . . . . 5 NN Pell14QR PellFund PellFund
52 modlt 11289 . . . . . . . . 9 PellFund PellFund
537, 27, 52syl2anc 644 . . . . . . . 8 NN Pell14QR PellFund
5435, 53eqbrtrd 4257 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund PellFund
55 reglogbas 26996 . . . . . . . 8 PellFund PellFund PellFund PellFund
563, 5, 55syl2anc 644 . . . . . . 7 NN Pell14QR PellFund PellFund
5754, 44, 563brtr4d 4267 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
58 reglogltb 26992 . . . . . . 7 PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
5946, 3, 3, 48, 58syl22anc 1186 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
6057, 59mpbird 225 . . . . 5 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund
61 pellfund14gap 26988 . . . . 5 NN PellFund PellFund Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
6217, 25, 51, 60, 61syl112anc 1189 . . . 4 NN Pell14QR PellFund PellFund
6331negidd 9432 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund PellFund
6463oveq2d 6126 . . . . 5 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund
653rpcnd 10681 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund
663rpne0d 10684 . . . . . 6 NN Pell14QR PellFund
67 expaddz 11455 . . . . . 6 PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
6865, 66, 8, 13, 67syl22anc 1186 . . . . 5 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
6965exp0d 11548 . . . . 5 NN Pell14QR PellFund
7064, 68, 693eqtr3rd 2483 . . . 4 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund
7162, 70eqtrd 2474 . . 3 NN Pell14QR PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund PellFund
7210, 12, 15, 16, 71mulcan2ad 9689 . 2 NN Pell14QR PellFund PellFund
73 oveq2 6118 . . . 4 PellFund PellFund PellFund PellFund
7473eqeq2d 2453 . . 3 PellFund PellFund PellFund PellFund
7574rspcev 3058 . 2 PellFund PellFund PellFund PellFund
768, 72, 75syl2anc 644 1 NN Pell14QR PellFund
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  wrex 2712   cdif 3303   class class class wbr 4237  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cr 9020  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026   clt 9151   cle 9152   cmin 9322  cneg 9323   cdiv 9708  cn 10031  cz 10313  crp 10643  cfl 11232   cmo 11281  cexp 11413  clog 20483  ◻NNcsquarenn 26937  Pell1QRcpell1qr 26938  Pell14QRcpell14qr 26940  PellFundcpellfund 26941 This theorem is referenced by:  pellfund14b  27000 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-pi 12706  df-dvds 12884  df-gcd 13038  df-numer 13158  df-denom 13159  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785  df-log 20485  df-squarenn 26942  df-pell1qr 26943  df-pell14qr 26944  df-pell1234qr 26945  df-pellfund 26946
 Copyright terms: Public domain W3C validator