Theorem phoeqi 8462

Description: A condition implying that two operators are equal.

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	|- X = (Base` U)
ip2eqi.7	|- P = (.i` U)
ip2eqi.u	|- U e. CPreHil

Assertion

Ref	Expression
phoeqi	|- ((S:Y-->X /\ T:Y-->X) -> (A.x e. X A.y e. Y (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> S = T))

Distinct variable groups:   x,P   x,y,S   x,T,y   x,U   x,X,y   x,Y,y

Proof of Theorem phoeqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
2		ip2eqi.7	. . . . . . 7 |- P = (.i` U)
3		ip2eqi.u	. . . . . . 7 |- U e. CPreHil
4	1, 2, 3	ip2eqi 8461	. . . . . 6 |- (((S` y) e. X /\ (T` y) e. X) -> (A.x e. X (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> (S` y) = (T` y)))
5		ffvelrn 3805	. . . . . 6 |- ((S:Y-->X /\ y e. Y) -> (S` y) e. X)
6		ffvelrn 3805	. . . . . 6 |- ((T:Y-->X /\ y e. Y) -> (T` y) e. X)
7	4, 5, 6	syl2an 454	. . . . 5 |- (((S:Y-->X /\ y e. Y) /\ (T:Y-->X /\ y e. Y)) -> (A.x e. X (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> (S` y) = (T` y)))
8	7	anandirs 513	. . . 4 |- (((S:Y-->X /\ T:Y-->X) /\ y e. Y) -> (A.x e. X (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> (S` y) = (T` y)))
9	8	ralbidva 1656	. . 3 |- ((S:Y-->X /\ T:Y-->X) -> (A.y e. Y A.x e. X (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> A.y e. Y (S` y) = (T` y)))
10		eqfnfv 3788	. . . . 5 |- ((S Fn Y /\ T Fn Y) -> (S = T <-> (Y = Y /\ A.y e. Y (S` y) = (T` y))))
11		eqid 1473	. . . . . 6 |- Y = Y
12	11	biantrur 724	. . . . 5 |- (A.y e. Y (S` y) = (T` y) <-> (Y = Y /\ A.y e. Y (S` y) = (T` y)))
13	10, 12	syl6bbr 537	. . . 4 |- ((S Fn Y /\ T Fn Y) -> (S = T <-> A.y e. Y (S` y) = (T` y)))
14		ffn 3619	. . . 4 |- (S:Y-->X -> S Fn Y)
15		ffn 3619	. . . 4 |- (T:Y-->X -> T Fn Y)
16	13, 14, 15	syl2an 454	. . 3 |- ((S:Y-->X /\ T:Y-->X) -> (S = T <-> A.y e. Y (S` y) = (T` y)))
17	9, 16	bitr4d 530	. 2 |- ((S:Y-->X /\ T:Y-->X) -> (A.y e. Y A.x e. X (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> S = T))
18		ralcom 1771	. 2 |- (A.x e. X A.y e. Y (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> A.y e. Y A.x e. X (xP(S` y)) = (xP(T` y)))
19	17, 18	syl5bb 531	1 |- ((S:Y-->X /\ T:Y-->X) -> (A.x e. X A.y e. Y (xP(S` y)) = (xP(T` y)) <-> S = T))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   Fn wfn 3172  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  Basecba 8157  .icip 8296  CPreHilcphl 8415

This theorem is referenced by:  ajmoi 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-haus 7732  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-ph 8416

Copyright terms: Public domain