Theorem php2 4503

Description: Corollary of Pigeonhole Principle.

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1532	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. om <-> A e. om))
2		psseq2 2133	. . . . 5 |- (x = A -> (B (. x <-> B (. A))
3	1, 2	anbi12d 627	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. om /\ B (. x) <-> (A e. om /\ B (. A)))
4		breq2 2619	. . . 4 |- (x = A -> (B ~< x <-> B ~< A))
5	3, 4	imbi12d 625	. . 3 |- (x = A -> (((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x) <-> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)))
6		pssss 2140	. . . . . . 7 |- (B (. x -> B (_ x)
7		visset 1810	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		ssdom2g 4399	. . . . . . . 8 |- (x e. V -> (B (_ x -> B ~<_ x))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (B (_ x -> B ~<_ x)
10	6, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (B (. x -> B ~<_ x)
11	10	adantl 388	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~<_ x)
12		php 4502	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. x ~~ B)
13	7	ensym 4402	. . . . . 6 |- (B ~~ x -> x ~~ B)
14	12, 13	nsyl 116	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. B ~~ x)
15	11, 14	jca 288	. . . 4 |- ((x e. om /\ B (. x) -> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
16		brsdom 4372	. . . 4 |- (B ~< x <-> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
17	15, 16	sylibr 200	. . 3 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x)
18	5, 17	vtoclg 1844	. 2 |- (A e. om -> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A))
19	18	anabsi5 495	1 |- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808   (_ wss 2044   (. wpss 2045   class class class wbr 2615  omcom 3127   ~~ cen 4357   ~<_ cdom 4358   ~< csdm 4359

This theorem is referenced by:  php4 4505  nndomo 4509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-er 4254  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362

Copyright terms: Public domain