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Theorem php3 7222
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If  A is finite and  B is a proper subset of  A, the  B is strictly less numerous than  A. Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
php3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )

Proof of Theorem php3
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7060 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 relen 7043 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~
32brrelexi 4851 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  A  e.  _V )
4 pssss 3378 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C.  A  ->  B  C_  A )
5 ssdomg 7082 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
65imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
73, 4, 6syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<_  A )
87adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<_  A )
9 bren 7046 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  x  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> x )
10 imass2 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C_  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
114, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
C.  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
1211adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C_  ( f " A ) )
13 pssnel 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C.  A  ->  E. y
( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )
14 eldif 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
15 f1ofn 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f  Fn  A )
16 difss 3410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  B )  C_  A
17 fnfvima 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A  /\  y  e.  ( A  \  B
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) )
18173expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( y  e.  ( A  \  B )  ->  ( f `  y )  e.  ( f " ( A 
\  B ) ) ) )
1915, 16, 18sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) ) )
20 dff1o3 5613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  <->  ( f : A -onto-> x  /\  Fun  `' f ) )
2120simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  Fun  `' f )
22 imadif 5461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2423eleq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f `  y )  e.  ( f "
( A  \  B
) )  <->  ( f `  y )  e.  ( ( f " A
)  \  ( f " B ) ) ) )
2519, 24sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) ) )
26 n0i 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ( f
" A )  \ 
( f " B
) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
2725, 26syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
2814, 27syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
)  ->  -.  (
( f " A
)  \  ( f " B ) )  =  (/) ) )
2928exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
3029imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
3113, 30sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
32 ssdif0 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f " A ) 
C_  ( f " B )  <->  ( (
f " A ) 
\  ( f " B ) )  =  (/) )
3331, 32sylnibr 297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) )
34 dfpss3 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( (
f " B ) 
C_  ( f " A )  /\  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) ) )
3512, 33, 34sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  ( f " A ) )
36 imadmrn 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
37 f1odm 5611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  dom  f  =  A )
3837imaeq2d 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" dom  f )  =  ( f " A ) )
39 f1ofo 5614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -onto-> x )
40 forn 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ran  f  =  x )
4236, 38, 413eqtr3a 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" A )  =  x )
4342psseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( f " B )  C.  x
) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( ( f " B )  C.  (
f " A )  <-> 
( f " B
)  C.  x )
)
4535, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  x )
46 php 7220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f " B
)  C.  x )  ->  -.  x  ~~  (
f " B ) )
4745, 46sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  ( f " B
) )
48 f1of1 5606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -1-1-> x )
49 f1ores 5622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-> x  /\  B  C_  A )  ->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) )
5048, 4, 49syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
) )
51 vex 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
5251resex 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  |`  B )  e.  _V
53 f1oeq1 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f  |`  B )  ->  (
y : B -1-1-onto-> ( f
" B )  <->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) ) )
5452, 53spcev 2979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
55 bren 7046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
~~  ( f " B )  <->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
5654, 55sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  B  ~~  ( f " B
) )
5750, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~~  ( f " B ) )
58 entr 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  ~~  B  /\  B  ~~  ( f " B ) )  ->  x  ~~  ( f " B ) )
5958expcom 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
~~  ( f " B )  ->  (
x  ~~  B  ->  x 
~~  ( f " B ) ) )
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f
" B ) ) )
6160adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  ( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f " B
) ) )
6247, 61mtod 170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  B )
6362exp32 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
f : A -1-1-onto-> x  -> 
( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B
) ) )
6463exlimdv 1643 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
659, 64syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
6665imp31 422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  x  ~~  B )
67 entr 7088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ~~  A  /\  A  ~~  x )  ->  B  ~~  x )
6867ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  A  ->  ( A  ~~  x  ->  B  ~~  x ) )
69 ensym 7085 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  x  ->  x  ~~  B )
7068, 69syl6com 33 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7170ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7266, 71mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  B  ~~  A )
73 brsdom 7059 . . . . . 6  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
748, 72, 73sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<  A )
7574exp31 588 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) ) )
7675rexlimiv 2760 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  ( B 
C.  A  ->  B  ~<  A ) )
771, 76sylbi 188 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
7877imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    C_ wss 3256    C. wpss 3257   (/)c0 3564   class class class wbr 4146   omcom 4778   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   ran crn 4812    |` cres 4813   "cima 4814   Fun wfun 5381    Fn wfn 5382   -1-1->wf1 5384   -onto->wfo 5385   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387    ~~ cen 7035    ~<_ cdom 7036    ~< csdm 7037   Fincfn 7038
This theorem is referenced by:  pssinf  7248  f1finf1o  7264  findcard3  7279  fofinf1o  7316  ackbij1b  8045  fincssdom  8129  fin23lem25  8130  canthp1lem2  8454  pwfseqlem4  8463  uzindi  11240  pgpssslw  15168  pgpfaclem2  15560  ppiltx  20820  finminlem  26005  symggen  27073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042
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