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Theorem php3 6932
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If  A is finite and  B is a proper subset of  A, the  B is strictly less numerous than  A. Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
php3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )

Proof of Theorem php3
StepHypRef Expression
1 isfi 6771 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 relen 6754 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~
32brrelexi 4636 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  A  e.  _V )
4 pssss 3192 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C.  A  ->  B  C_  A )
5 ssdomg 6793 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
65imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
73, 4, 6syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~~  x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<_  A )
87adantll 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<_  A )
9 bren 6757 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  x  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> x )
10 imass2 4956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C_  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
114, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
C.  A  ->  (
f " B ) 
C_  ( f " A ) )
1211adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C_  ( f " A ) )
13 pssnel 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B 
C.  A  ->  E. y
( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
) )
14 eldif 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )
15 f1ofn 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f  Fn  A )
16 difss 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  B )  C_  A
17 fnfvima 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A  /\  y  e.  ( A  \  B
) )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) )
18173expia 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( y  e.  ( A  \  B )  ->  ( f `  y )  e.  ( f " ( A 
\  B ) ) ) )
1915, 16, 18sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( f " ( A  \  B ) ) ) )
20 dff1o3 5335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  <->  ( f : A -onto-> x  /\  Fun  `' f ) )
2120simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  Fun  `' f )
22 imadif 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" ( A  \  B ) )  =  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) )
2423eleq2d 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f `  y )  e.  ( f "
( A  \  B
) )  <->  ( f `  y )  e.  ( ( f " A
)  \  ( f " B ) ) ) )
2519, 24sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  (
f `  y )  e.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) ) ) )
26 n0i 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ( f
" A )  \ 
( f " B
) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
2725, 26syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
2814, 27syl5bir 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B
)  ->  -.  (
( f " A
)  \  ( f " B ) )  =  (/) ) )
2928exlimdv 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) ) )
3029imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  E. y ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  B ) )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
3113, 30sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( ( f " A )  \  (
f " B ) )  =  (/) )
32 ssdif0 3420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f " A ) 
C_  ( f " B )  <->  ( (
f " A ) 
\  ( f " B ) )  =  (/) )
3331, 32sylnibr 298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) )
34 dfpss3 3183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( (
f " B ) 
C_  ( f " A )  /\  -.  ( f " A
)  C_  ( f " B ) ) )
3512, 33, 34sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  ( f " A ) )
36 imadmrn 4931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
37 f1odm 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  dom  f  =  A )
3837imaeq2d 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" dom  f )  =  ( f " A ) )
39 f1ofo 5336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -onto-> x )
40 forn 5311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -onto-> x  ->  ran  f  =  x
)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ran  f  =  x )
4236, 38, 413eqtr3a 2309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( f
" A )  =  x )
4342psseq2d 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  ( ( f " B ) 
C.  ( f " A )  <->  ( f " B )  C.  x
) )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( ( f " B )  C.  (
f " A )  <-> 
( f " B
)  C.  x )
)
4535, 44mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f " B
)  C.  x )
46 php 6930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f " B
)  C.  x )  ->  -.  x  ~~  (
f " B ) )
4745, 46sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  ( f " B
) )
48 f1of1 5328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A -1-1-onto-> x  ->  f : A -1-1-> x )
49 f1ores 5344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-> x  /\  B  C_  A )  ->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) )
5048, 4, 49syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
) )
51 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
5251resex 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  |`  B )  e.  _V
53 f1oeq1 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( f  |`  B )  ->  (
y : B -1-1-onto-> ( f
" B )  <->  ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> (
f " B ) ) )
5452, 53cla4ev 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
55 bren 6757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B 
~~  ( f " B )  <->  E. y 
y : B -1-1-onto-> ( f
" B ) )
5654, 55sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  B ) : B -1-1-onto-> ( f " B
)  ->  B  ~~  ( f " B
) )
5750, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  ->  B  ~~  ( f " B ) )
58 entr 6798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  ~~  B  /\  B  ~~  ( f " B ) )  ->  x  ~~  ( f " B ) )
5958expcom 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B 
~~  ( f " B )  ->  (
x  ~~  B  ->  x 
~~  ( f " B ) ) )
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A )  -> 
( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f
" B ) ) )
6160adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  ( x  ~~  B  ->  x  ~~  ( f " B
) ) )
6247, 61mtod 170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( f : A -1-1-onto-> x  /\  B  C.  A ) )  ->  -.  x  ~~  B )
6362exp32 591 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
f : A -1-1-onto-> x  -> 
( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B
) ) )
6463exlimdv 1932 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
659, 64syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  -.  x  ~~  B ) ) )
6665imp31 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  x  ~~  B )
67 entr 6798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ~~  A  /\  A  ~~  x )  ->  B  ~~  x )
6867ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  A  ->  ( A  ~~  x  ->  B  ~~  x ) )
69 ensym 6796 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
~~  x  ->  x  ~~  B )
7068, 69syl6com 33 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  x  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7170ad2antlr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  ( B  ~~  A  ->  x  ~~  B ) )
7266, 71mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  -.  B  ~~  A )
73 brsdom 6770 . . . . . 6  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
748, 72, 73sylanbrc 648 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  /\  B  C.  A
)  ->  B  ~<  A )
7574exp31 590 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  ~~  x  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) ) )
7675rexlimiv 2623 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  ( B 
C.  A  ->  B  ~<  A ) )
771, 76sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
7877imp 420 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    \ cdif 3075    C_ wss 3078    C. wpss 3079   (/)c0 3362   class class class wbr 3920   omcom 4547   `'ccnv 4579   dom cdm 4580   ran crn 4581    |` cres 4582   "cima 4583   Fun wfun 4586    Fn wfn 4587   -1-1->wf1 4589   -onto->wfo 4590   -1-1-onto->wf1o 4591   ` cfv 4592    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748   Fincfn 6749
This theorem is referenced by:  pssinf  6958  f1finf1o  6971  findcard3  6985  fofinf1o  7022  ackbij1b  7749  fincssdom  7833  fin23lem25  7834  canthp1lem2  8155  pwfseqlem4  8164  uzindi  10921  pgpssslw  14760  pgpfaclem2  15152  ppiltx  20247  finminlem  25397  symggen  26577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753
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