Theorem phplem1 4655

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element.

Assertion

Ref	Expression
phplem1	|- ((A e. om /\ B e. A) -> ({A} u. (A \ {B})) = (suc A \ {B}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nordeq 2994	. . . 4 |- ((Ord A /\ B e. A) -> A =/= B)
2		disjsn2 2503	. . . 4 |- (A =/= B -> ({A} i^i {B}) = (/))
3	1, 2	syl 10	. . 3 |- ((Ord A /\ B e. A) -> ({A} i^i {B}) = (/))
4		nnord 3227	. . 3 |- (A e. om -> Ord A)
5	3, 4	sylan 450	. 2 |- ((A e. om /\ B e. A) -> ({A} i^i {B}) = (/))
6		undif4 2378	. . 3 |- (({A} i^i {B}) = (/) -> ({A} u. (A \ {B})) = (({A} u. A) \ {B}))
7		df-suc 2981	. . . . 5 |- suc A = (A u. {A})
8		uncom 2228	. . . . 5 |- (A u. {A}) = ({A} u. A)
9	7, 8	eqtri 1538	. . . 4 |- suc A = ({A} u. A)
10	9	difeq1i 2207	. . 3 |- (suc A \ {B}) = (({A} u. A) \ {B})
11	6, 10	syl6eqr 1568	. 2 |- (({A} i^i {B}) = (/) -> ({A} u. (A \ {B})) = (suc A \ {B}))
12	5, 11	syl 10	1 |- ((A e. om /\ B e. A) -> ({A} u. (A \ {B})) = (suc A \ {B}))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628   \ cdif 2096   u. cun 2097   i^i cin 2098  (/)c0 2332  {csn 2467  Ord word 2974  suc csuc 2977  omcom 3218

This theorem is referenced by:  phplem2 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-suc 2981  df-om 3219

Copyright terms: Public domain