MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phplem1 Unicode version

Theorem phplem1 6994
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
phplem1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )

Proof of Theorem phplem1
StepHypRef Expression
1 nnord 4622 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
2 nordeq 4369 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  A  =/=  B )
3 disjsn2 3654 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
51, 4sylan 459 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
6 undif4 3472 . . 3  |-  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( { A }  u.  A )  \  { B } ) )
7 df-suc 4356 . . . . 5  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
8 uncom 3280 . . . . 5  |-  ( A  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  A
)
97, 8eqtri 2276 . . . 4  |-  suc  A  =  ( { A }  u.  A )
109difeq1i 3251 . . 3  |-  ( suc 
A  \  { B } )  =  ( ( { A }  u.  A )  \  { B } )
116, 10syl6eqr 2306 . 2  |-  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc 
A  \  { B } ) )
125, 11syl 17 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    \ cdif 3110    u. cun 3111    i^i cin 3112   (/)c0 3416   {csn 3600   Ord word 4349   suc csuc 4352   omcom 4614
This theorem is referenced by:  phplem2  6995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615
  Copyright terms: Public domain W3C validator