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Theorem phtpcer 18488
Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
phtpcer  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
Dummy variables  f 
g  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem phtpcer
StepHypRef Expression
1 phtpcrel 18486 . . . 4  |-  Rel  (  ~=ph  `  J )
21a1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  Rel  (  ~=ph  `  J
) )
3 isphtpc 18487 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
y )  =/=  (/) ) )
43simp2bi 973 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
53simp1bi 972 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
63simp3bi 974 . . . . . . 7  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( x
( PHtpy `  J )
y )  =/=  (/) )
7 n0 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( PHtpy `  J
) y )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )
86, 7sylib 190 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y ) )
95adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
104adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
11 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( u f ( 1  -  v ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( u f ( 1  -  v
) ) )
12 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )
139, 10, 11, 12phtpycom 18481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( u f ( 1  -  v
) ) )  e.  ( y ( PHtpy `  J ) x ) )
14 ne0i 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( u f ( 1  -  v ) ) )  e.  ( y ( PHtpy `  J )
x )  ->  (
y ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) )
1615ex 425 . . . . . . 7  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y )  ->  ( y (
PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
1716exlimdv 1665 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( E. f  f  e.  (
x ( PHtpy `  J
) y )  -> 
( y ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
188, 17mpd 16 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) )
19 isphtpc 18487 . . . . 5  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
204, 5, 18, 19syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
2120adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x ( 
~=ph  `  J ) y )  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
225adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
23 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  y
(  ~=ph  `  J )
z )
24 isphtpc 18487 . . . . . . 7  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) z  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
2523, 24sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  z  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) ) )
2625simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  z  e.  ( II  Cn  J
) )
276adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) y )  =/=  (/) )
2827, 7sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y ) )
2925simp3d 971 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) )
30 n0 3466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) 
<->  E. g  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )
3129, 30sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. g 
g  e.  ( y ( PHtpy `  J )
z ) )
32 eeanv 1856 . . . . . . 7  |-  ( E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )  <->  ( E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  E. g  g  e.  (
y ( PHtpy `  J
) z ) ) )
3328, 31, 32sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J
) z ) ) )
34 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  - 
1 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  - 
1 ) ) ) )
3522adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
3625simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
3736adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J ) )
3826adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  z  e.  ( II  Cn  J ) )
39 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y ) )
40 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( PHtpy `  J
) z ) )
4134, 35, 37, 38, 39, 40phtpycc 18484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( v  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  -  1 ) ) ) )  e.  ( x (
PHtpy `  J ) z ) )
42 ne0i 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  (
1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v
) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  -  1 ) ) ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J
) z )  -> 
( x ( PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  ( x (
PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) )
4443ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) )  -> 
( x ( PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) ) )
4544exlimdvv 1669 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  ( E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )  ->  ( x
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
4633, 45mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) )
47 isphtpc 18487 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) z  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
4822, 26, 46, 47syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  x
(  ~=ph  `  J )
z )
4948adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y ( 
~=ph  `  J ) z ) )  ->  x
(  ~=ph  `  J )
z )
50 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
) ,  z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  y ) )
51 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
5250, 51phtpyid 18482 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J )
x ) )
53 ne0i 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J )
x )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
5554ancli 536 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
5655pm4.71ri 616 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) ) )
57 df-3an 938 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) )  <->  ( (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) ) )
58 3ancomb 945 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) )  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
5956, 57, 583bitr2i 266 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
60 isphtpc 18487 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
6159, 60bitr4i 245 . . . 4  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  x (  ~=ph  `  J ) x )
6261a1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <-> 
x (  ~=ph  `  J
) x ) )
632, 21, 49, 62iserd 6682 . 2  |-  (  T. 
->  (  ~=ph  `  J
)  Er  ( II 
Cn  J ) )
6463trud 1316 1  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    T. wtru 1309   E.wex 1529    e. wcel 1685    =/= wne 2448   (/)c0 3457   ifcif 3567   class class class wbr 4025   Rel wrel 4694   ` cfv 5222  (class class class)co 5820    e. cmpt2 5822    Er wer 6653   0cc0 8733   1c1 8734    x. cmul 8738    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   2c2 9791   [,]cicc 10654    Cn ccn 16949   IIcii 18374   PHtpycphtpy 18461    ~=ph cphtpc 18462
This theorem is referenced by:  pcophtb  18522  pi1buni  18533  pi1addf  18540  pi1addval  18541  pi1grplem  18542  pi1inv  18545  pi1xfrf  18546  pi1xfr  18548  pi1xfrcnvlem  18549  pi1cof  18552  sconpi1  23175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10655  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-starv 13218  df-sca 13219  df-vsca 13220  df-tset 13222  df-ple 13223  df-ds 13225  df-hom 13227  df-cco 13228  df-rest 13322  df-topn 13323  df-topgen 13339  df-pt 13340  df-prds 13343  df-xrs 13398  df-0g 13399  df-gsum 13400  df-qtop 13405  df-imas 13406  df-xps 13408  df-mre 13483  df-mrc 13484  df-acs 13486  df-mnd 14362  df-submnd 14411  df-mulg 14487  df-cntz 14788  df-cmn 15086  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-cnfld 16373  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-topsp 16635  df-cld 16751  df-cn 16952  df-cnp 16953  df-tx 17252  df-hmeo 17441  df-xms 17880  df-ms 17881  df-tms 17882  df-ii 18376  df-htpy 18463  df-phtpy 18464  df-phtpc 18485
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