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Theorem phtpcer 18441
Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
phtpcer  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )

Proof of Theorem phtpcer
StepHypRef Expression
1 phtpcrel 18439 . . . 4  |-  Rel  (  ~=ph  `  J )
21a1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  Rel  (  ~=ph  `  J
) )
3 isphtpc 18440 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
y )  =/=  (/) ) )
43simp2bi 976 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
53simp1bi 975 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
63simp3bi 977 . . . . . . 7  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( x
( PHtpy `  J )
y )  =/=  (/) )
7 n0 3425 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( PHtpy `  J
) y )  =/=  (/) 
<->  E. f  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )
86, 7sylib 190 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y ) )
95adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
104adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
11 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( u f ( 1  -  v ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( u f ( 1  -  v
) ) )
12 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )
139, 10, 11, 12phtpycom 18434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( u f ( 1  -  v
) ) )  e.  ( y ( PHtpy `  J ) x ) )
14 ne0i 3422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( u f ( 1  -  v ) ) )  e.  ( y ( PHtpy `  J )
x )  ->  (
y ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y ) )  ->  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) )
1615ex 425 . . . . . . 7  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y )  ->  ( y (
PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
1716exlimdv 1933 . . . . . 6  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( E. f  f  e.  (
x ( PHtpy `  J
) y )  -> 
( y ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
188, 17mpd 16 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) )
19 isphtpc 18440 . . . . 5  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
204, 5, 18, 19syl3anbrc 1141 . . . 4  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) y  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
2120adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x ( 
~=ph  `  J ) y )  ->  y (  ~=ph  `  J ) x )
225adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
23 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  y
(  ~=ph  `  J )
z )
24 isphtpc 18440 . . . . . . 7  |-  ( y (  ~=ph  `  J ) z  <->  ( y  e.  ( II  Cn  J
)  /\  z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( y
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
2523, 24sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
y  e.  ( II 
Cn  J )  /\  z  e.  ( II  Cn  J )  /\  (
y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) ) )
2625simp2d 973 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  z  e.  ( II  Cn  J
) )
276adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) y )  =/=  (/) )
2827, 7sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y ) )
2925simp3d 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) )
30 n0 3425 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) 
<->  E. g  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )
3129, 30sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. g 
g  e.  ( y ( PHtpy `  J )
z ) )
32 eeanv 2058 . . . . . . 7  |-  ( E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )  <->  ( E. f 
f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  E. g  g  e.  (
y ( PHtpy `  J
) z ) ) )
3328, 31, 32sylanbrc 648 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J ) y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J
) z ) ) )
34 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  - 
1 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  - 
1 ) ) ) )
3522adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  x  e.  ( II  Cn  J ) )
3625simp1d 972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  y  e.  ( II  Cn  J
) )
3736adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  y  e.  ( II  Cn  J ) )
3826adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  z  e.  ( II  Cn  J ) )
39 simprl 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y ) )
40 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( PHtpy `  J
) z ) )
4134, 35, 37, 38, 39, 40phtpycc 18437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  ( u  e.  ( 0 [,] 1
) ,  v  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( v  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v ) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  -  1 ) ) ) )  e.  ( x (
PHtpy `  J ) z ) )
42 ne0i 3422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  v  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( v  <_  (
1  /  2 ) ,  ( u f ( 2  x.  v
) ) ,  ( u g ( ( 2  x.  v )  -  1 ) ) ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J
) z )  -> 
( x ( PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y (  ~=ph  `  J
) z )  /\  ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) ) )  ->  ( x (
PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) )
4443ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
( f  e.  ( x ( PHtpy `  J
) y )  /\  g  e.  ( y
( PHtpy `  J )
z ) )  -> 
( x ( PHtpy `  J ) z )  =/=  (/) ) )
4544exlimdvv 2027 . . . . . 6  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  ( E. f E. g ( f  e.  ( x ( PHtpy `  J )
y )  /\  g  e.  ( y ( PHtpy `  J ) z ) )  ->  ( x
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
4633, 45mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) z )  =/=  (/) )
47 isphtpc 18440 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) z  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  z  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
z )  =/=  (/) ) )
4822, 26, 46, 47syl3anbrc 1141 . . . 4  |-  ( ( x (  ~=ph  `  J
) y  /\  y
(  ~=ph  `  J )
z )  ->  x
(  ~=ph  `  J )
z )
4948adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x (  ~=ph  `  J ) y  /\  y ( 
~=ph  `  J ) z ) )  ->  x
(  ~=ph  `  J )
z )
50 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
) ,  z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( x `  y ) )
51 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  x  e.  ( II  Cn  J
) )
5250, 51phtpyid 18435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J )
x ) )
53 ne0i 3422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( x ( PHtpy `  J )
x )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x ( PHtpy `  J
) x )  =/=  (/) )
5554ancli 536 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) ) )
5655pm4.71ri 617 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) ) )
57 df-3an 941 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) )  <->  ( (
x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/) )  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) ) )
58 3ancomb 948 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( x ( PHtpy `  J ) x )  =/=  (/)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
) )  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
5956, 57, 583bitr2i 266 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
60 isphtpc 18440 . . . . 5  |-  ( x (  ~=ph  `  J ) x  <->  ( x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  x  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( x
( PHtpy `  J )
x )  =/=  (/) ) )
6159, 60bitr4i 245 . . . 4  |-  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <->  x (  ~=ph  `  J ) x )
6261a1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( II  Cn  J )  <-> 
x (  ~=ph  `  J
) x ) )
632, 21, 49, 62iserd 6640 . 2  |-  (  T. 
->  (  ~=ph  `  J
)  Er  ( II 
Cn  J ) )
6463trud 1320 1  |-  (  ~=ph  `  J )  Er  (
II  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    T. wtru 1312   E.wex 1537    e. wcel 1621    =/= wne 2419   (/)c0 3416   ifcif 3525   class class class wbr 3983   Rel wrel 4652   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    e. cmpt2 5780    Er wer 6611   0cc0 8691   1c1 8692    x. cmul 8696    <_ cle 8822    - cmin 8991    / cdiv 9377   2c2 9749   [,]cicc 10611    Cn ccn 16902   IIcii 18327   PHtpycphtpy 18414    ~=ph cphtpc 18415
This theorem is referenced by:  pcophtb  18475  pi1buni  18486  pi1addf  18493  pi1addval  18494  pi1grplem  18495  pi1inv  18498  pi1xfrf  18499  pi1xfr  18501  pi1xfrcnvlem  18502  pi1cof  18505  sconpi1  23128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-ii 18329  df-htpy 18416  df-phtpy 18417  df-phtpc 18438
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