HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pj3si Unicode version

Theorem pj3si 22803
Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1  |-  F  e. 
CH
pjadj2co.2  |-  G  e. 
CH
pjadj2co.3  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pj3si  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  ->  ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )

Proof of Theorem pj3si
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  e. 
CH
2 pjadj2co.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  e. 
CH
3 pjadj2co.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  e. 
CH
41, 2, 3pj2cocli 22801 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  F )
54adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  C_  G  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  F )
61pjfi 22299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( proj 
h `  F ) : ~H --> ~H
72pjfi 22299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( proj 
h `  G ) : ~H --> ~H
86, 7hocofi 22362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) ) : ~H --> ~H
93pjfi 22299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
108, 9hocofni 22363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  Fn  ~H
11 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  Fn  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ran  (
( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) )
1210, 11mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) )
13 ssel 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  C_  G  ->  ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ran  (
( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  G ) )
1412, 13syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  C_  G  ->  ( x  e.  ~H  ->  ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  G ) )
1514imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  C_  G  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  G )
16 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ( F  i^i  G )  <->  ( ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  F  /\  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  G ) )
175, 15, 16sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  C_  G  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  ( F  i^i  G
) )
1817adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  ( F  i^i  G
) )
193, 2, 1pj2cocli 22801 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  H )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  F ) ) `  x )  e.  H )
20 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
) `  x )
)
2120eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  H  <->  ( (
( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
) `  x )  e.  H ) )
2219, 21syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  ->  ( x  e.  ~H  ->  ( (
( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  H ) )
2322imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  H )
2423adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  H )
25 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H )  <->  ( (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ( F  i^i  G )  /\  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  H ) )
2618, 24, 25sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) )
278, 9hococli 22361 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )
28 hvsubcl 21613 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( x  -h  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) )  e.  ~H )
2927, 28mpdan 649 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  e.  ~H )
3029adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  -h  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
) )  e.  ~H )
31 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  ->  x  e.  ~H )
3227adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ~H )
331, 2chincli 22055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  i^i  G )  e. 
CH
3433, 3chincli 22055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  e. 
CH
3534cheli 21828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H )  ->  y  e.  ~H )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
y  e.  ~H )
3731, 32, 363jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( x  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)
3837adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H ) )
39 his2sub 21687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
) )  .ih  y
)  =  ( ( x  .ih  y )  -  ( ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  .ih  y ) ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( (
x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  .ih  y )  =  ( ( x 
.ih  y )  -  ( ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  .ih  y ) ) )
4120adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  ->  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
) `  x )
)
4241oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  ->  ( ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  F
) ) `  x
)  .ih  y )
)
433, 2, 1pjadj2coi 22800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
) `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  y )
) )
4435, 43sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
) `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  y )
) )
451, 2, 3pj3lem1 22802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H )  ->  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  y )  =  y )
4645oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H )  ->  (
x  .ih  ( (
( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  y ) )  =  ( x 
.ih  y ) )
4844, 47eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
) `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  y ) )
4942, 48sylan9eq 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) 
.ih  y )  =  ( x  .ih  y
) )
5049oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  .ih  y )  -  ( ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  .ih  y ) )  =  ( ( x  .ih  y )  -  (
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  .ih  y )
) )
5127, 35anim12i 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H ) )
5251adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H ) )
53 hicl 21675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  .ih  y )  e.  CC )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) 
.ih  y )  e.  CC )
5554subidd 9161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  .ih  y )  -  ( ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  .ih  y ) )  =  0 )
5640, 50, 553eqtr2d 2334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  ( (
x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  .ih  y )  =  0 )
5756expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  ->  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  .ih  y )  =  0 ) )
5857ralrimiv 2638 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  A. y  e.  ( ( F  i^i  G
)  i^i  H )
( ( x  -h  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
) )  .ih  y
)  =  0 )
5934chshii 21823 . . . . . . 7  |-  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  e.  SH
60 shocel 21877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  i^i  G
)  i^i  H )  e.  SH  ->  ( (
x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  e.  ( _|_ `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) )  <->  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  e.  ~H  /\  A. y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ( ( x  -h  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) ) )
6159, 60ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  e.  ( _|_ `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) )  <->  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  e.  ~H  /\  A. y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ( ( x  -h  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) )
6230, 58, 61sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  -h  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
) )  e.  ( _|_ `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )
6334pjvi 22300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  /\  ( x  -h  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) )  e.  ( _|_ `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )  ->  (
( proj  h `  (
( F  i^i  G
)  i^i  H )
) `  ( (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  +h  ( x  -h  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
) ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)
6426, 62, 63syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) `  ( ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  +h  ( x  -h  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
) )
65 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  e.  ~H )
66 hvaddsub12 21633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H  /\  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )  -> 
( ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  +h  ( x  -h  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) ) )  =  ( x  +h  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
) ) )
6727, 65, 27, 66syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  +h  ( x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
) )  =  ( x  +h  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
) ) )
68 hvsubid 21621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  -h  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  =  0h )
6927, 68syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  -h  ( ( ( ( proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
)  =  0h )
7069oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
) )  =  ( x  +h  0h )
)
71 ax-hvaddid 21600 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  0h )  =  x )
7270, 71eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
) )  =  x )
7367, 72eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  +h  ( x  -h  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )
) )  =  x )
7473fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  (
( F  i^i  G
)  i^i  H )
) `  ( (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  +h  ( x  -h  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
) ) ) )  =  ( ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) `  x ) )
7574adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) `  ( ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  +h  ( x  -h  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( proj  h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  x ) )
7664, 75eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) `  x )  =  ( ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) `  x ) )
7776ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( (
proj  h `  F )  o.  ( proj  h `  G ) )  o.  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  =  ( (
proj  h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `
 x ) )
788, 9hocofi 22362 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
) : ~H --> ~H
7934pjfi 22299 . . 3  |-  ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) : ~H --> ~H
8078, 79hoeqi 22357 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) ) `  x )  =  ( ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) `  x )  <->  ( (
( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )
8177, 80sylib 188 1  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  F )
)  /\  ran  ( ( ( proj  h `  F
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  C_  G )  ->  ( ( ( proj 
h `  F )  o.  ( proj  h `  G
) )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( proj 
h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    - cmin 9053   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .ih csp 21518   0hc0v 21520    -h cmv 21521   SHcsh 21524   CHcch 21525   _|_cort 21526   proj  hcpjh 21533
This theorem is referenced by:  pj3i  22804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680  ax-hcompl 21797
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-subgo 20985  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-ssp 21314  df-ph 21407  df-cbn 21458  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-hlim 21568  df-hcau 21569  df-sh 21802  df-ch 21817  df-oc 21847  df-ch0 21848  df-shs 21903  df-pjh 21990
  Copyright terms: Public domain W3C validator