Theorem pjc 10038

Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjc	|- (G C_H H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))

Proof of Theorem pjc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 |- G e. CH
2		pjclem1.2	. . 3 |- H e. CH
3	1, 2	pjclem2 10034	. 2 |- (G C_H H -> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))
4	1, 2	pjclem4 10037	. . . . . 6 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))
5	1, 2	pjclem3 10035	. . . . . . 7 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)))
6	2	choccl 9101	. . . . . . . 8 |- (_|_` H) e. CH
7	1, 6	pjclem4 10037	. . . . . . 7 |- (((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = ((proj` (_|_` H)) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = (proj` (G i^i (_|_` H))))
8	5, 7	syl 10	. . . . . 6 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))) = (proj` (G i^i (_|_` H))))
9	4, 8	opreq12d 3963	. . . . 5 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H)))))
10	2	pjtot 10017	. . . . . . 7 |- ((proj` H) +op (proj` (_|_` H))) = (proj` H~)
11	10	coeq2i 3273	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. ((proj` H) +op (proj` (_|_` H)))) = ((proj` G) o. (proj` H~))
12	2	pjf 9566	. . . . . . 7 |- (proj` H):H~-->H~
13	6	pjf 9566	. . . . . . 7 |- (proj` (_|_` H)):H~-->H~
14	1, 12, 13	pjsdi 9994	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. ((proj` H) +op (proj` (_|_` H)))) = (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))))
15		df-iop 9592	. . . . . . . 8 |- Iop = (proj` H~)
16	15	coeq2i 3273	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = ((proj` G) o. (proj` H~))
17	1	pjf 9566	. . . . . . . 8 |- (proj` G):H~-->H~
18	17	hoid1 9632	. . . . . . 7 |- ((proj` G) o. Iop ) = (proj` G)
19	16, 18	eqtr3 1489	. . . . . 6 |- ((proj` G) o. (proj` H~)) = (proj` G)
20	11, 14, 19	3eqtr3r 1496	. . . . 5 |- (proj` G) = (((proj` G) o. (proj` H)) +op ((proj` G) o. (proj` (_|_` H))))
21		inss2 2221	. . . . . . . 8 |- (G i^i H) (_ H
22	1	choccl 9101	. . . . . . . . 9 |- (_|_` G) e. CH
23	2, 22	chub2 9308	. . . . . . . 8 |- H (_ ((_|_` G) vH H)
24	21, 23	sstri 2063	. . . . . . 7 |- (G i^i H) (_ ((_|_` G) vH H)
25	1, 2	chdmm3 9317	. . . . . . 7 |- (_|_` (G i^i (_|_` H))) = ((_|_` G) vH H)
26	24, 25	sseqtr4 2084	. . . . . 6 |- (G i^i H) (_ (_|_` (G i^i (_|_` H)))
27	1, 2	chincl 9298	. . . . . . 7 |- (G i^i H) e. CH
28	1, 6	chincl 9298	. . . . . . 7 |- (G i^i (_|_` H)) e. CH
29	27, 28	pjscj 10009	. . . . . 6 |- ((G i^i H) (_ (_|_` (G i^i (_|_` H))) -> (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H)))))
30	26, 29	ax-mp 7	. . . . 5 |- (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) = ((proj` (G i^i H)) +op (proj` (G i^i (_|_` H))))
31	9, 20, 30	3eqtr4g 1523	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> (proj` G) = (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))))
32	27, 28	chjcl 9295	. . . . 5 |- ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))) e. CH
33	1, 32	pj11 9573	. . . 4 |- ((proj` G) = (proj` ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H)))) <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
34	31, 33	sylib 198	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
35	1, 2	cmbr 9450	. . 3 |- (G C_H H <-> G = ((G i^i H) vH (G i^i (_|_` H))))
36	34, 35	sylibr 200	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> G C_H H)
37	3, 36	impbi 157	1 |- (G C_H H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955   i^i cin 2036   (_ wss 2037   class class class wbr 2609   o. ccom 3164  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727  CHcch 8737  _|_cort 8738   vH chj 8741   C_H ccm 8744  projcpj 8745   +op chos 8746   Iop chio 8752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-ph 8403  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046  df-pj 9152  df-shsum 9188  df-chj 9190  df-hosum 9423  df-hodif 9425  df-cm 9443  df-h0op 9591  df-iop 9592

Copyright terms: Public domain