HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjci Unicode version

Theorem pjci 22894
Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1  |-  G  e. 
CH
pjclem1.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjci  |-  ( G  C_H  H  <->  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) ) )

Proof of Theorem pjci
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . 3  |-  G  e. 
CH
2 pjclem1.2 . . 3  |-  H  e. 
CH
31, 2pjclem2 22890 . 2  |-  ( G  C_H  H  ->  (
( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) ) )
41, 2pjclem4 22893 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  -> 
( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( proj 
h `  ( G  i^i  H ) ) )
51, 2pjclem3 22891 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  -> 
( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  H ) )  o.  ( proj  h `  G
) ) )
62choccli 22000 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
71, 6pjclem4 22893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  H ) )  o.  ( proj  h `  G
) )  ->  (
( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( proj  h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
85, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  -> 
( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( proj  h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
94, 8oveq12d 5963 . . . . 5  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  G )  o.  ( proj  h `  H
) )  +op  (
( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( (
proj  h `  ( G  i^i  H ) ) 
+op  ( proj  h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
10 df-iop 22443 . . . . . . . 8  |-  Iop  =  ( proj  h `  ~H )
1110coeq2i 4926 . . . . . . 7  |-  ( (
proj  h `  G )  o.  Iop  )  =  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ~H )
)
121pjfi 22397 . . . . . . . 8  |-  ( proj 
h `  G ) : ~H --> ~H
1312hoid1i 22483 . . . . . . 7  |-  ( (
proj  h `  G )  o.  Iop  )  =  ( proj  h `  G
)
1411, 13eqtr3i 2380 . . . . . 6  |-  ( (
proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ~H ) )  =  (
proj  h `  G )
152pjtoi 22873 . . . . . . . 8  |-  ( (
proj  h `  H ) 
+op  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  (
proj  h `  ~H )
1615coeq2i 4926 . . . . . . 7  |-  ( (
proj  h `  G )  o.  ( ( proj 
h `  H )  +op  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  ~H )
)
172pjfi 22397 . . . . . . . 8  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
186pjfi 22397 . . . . . . . 8  |-  ( proj 
h `  ( _|_ `  H ) ) : ~H --> ~H
191, 17, 18pjsdii 22849 . . . . . . 7  |-  ( (
proj  h `  G )  o.  ( ( proj 
h `  H )  +op  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  +op  ( (
proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) ) )
2016, 19eqtr3i 2380 . . . . . 6  |-  ( (
proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ~H ) )  =  ( ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  +op  ( (
proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) ) )
2114, 20eqtr3i 2380 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  G )  =  ( ( (
proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  +op  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) ) )
22 inss2 3466 . . . . . . . 8  |-  ( G  i^i  H )  C_  H
231choccli 22000 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
242, 23chub2i 22163 . . . . . . . 8  |-  H  C_  ( ( _|_ `  G
)  vH  H )
2522, 24sstri 3264 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  C_  ( ( _|_ `  G
)  vH  H )
261, 2chdmm3i 22172 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  =  ( ( _|_ `  G )  vH  H )
2725, 26sseqtr4i 3287 . . . . . 6  |-  ( G  i^i  H )  C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )
281, 2chincli 22153 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  H )  e. 
CH
291, 6chincli 22153 . . . . . . 7  |-  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) )  e.  CH
3028, 29pjscji 22864 . . . . . 6  |-  ( ( G  i^i  H ) 
C_  ( _|_ `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( proj  h `  (
( G  i^i  H
)  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  =  ( ( proj 
h `  ( G  i^i  H ) )  +op  ( proj  h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) ) )
3127, 30ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )  =  ( ( proj  h `  ( G  i^i  H ) ) 
+op  ( proj  h `  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
329, 21, 313eqtr4g 2415 . . . 4  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  -> 
( proj  h `  G
)  =  ( proj 
h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) ) )
3328, 29chjcli 22150 . . . . 5  |-  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) )  e.  CH
341, 33pj11i 22404 . . . 4  |-  ( (
proj  h `  G )  =  ( proj  h `  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )  <-> 
G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
3532, 34sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  ->  G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H ) ) ) )
361, 2cmbri 22283 . . 3  |-  ( G  C_H  H  <->  G  =  ( ( G  i^i  H )  vH  ( G  i^i  ( _|_ `  H
) ) ) )
3735, 36sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  ->  G  C_H  H )
383, 37impbii 180 1  |-  ( G  C_H  H  <->  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710    i^i cin 3227    C_ wss 3228   class class class wbr 4104    o. ccom 4775   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ~Hchil 21613   CHcch 21623   _|_cort 21624    vH chj 21627    C_H ccm 21630   proj  hcpjh 21631    +op chos 21632    Iop chio 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvmulass 21701  ax-hvdistr1 21702  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777  ax-his4 21778  ax-hcompl 21895
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-lm 17065  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cfil 18785  df-cau 18786  df-cmet 18787  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-gdiv 20973  df-ablo 21061  df-subgo 21081  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-vs 21269  df-nmcv 21270  df-ims 21271  df-dip 21388  df-ssp 21412  df-ph 21505  df-cbn 21556  df-hnorm 21662  df-hba 21663  df-hvsub 21665  df-hlim 21666  df-hcau 21667  df-sh 21900  df-ch 21915  df-oc 21945  df-ch0 21946  df-shs 22001  df-chj 22003  df-pjh 22088  df-cm 22276  df-hosum 22424  df-hodif 22426  df-h0op 22442  df-iop 22443
  Copyright terms: Public domain W3C validator