Theorem pjcmmul2 10086

Description: The projection subspace of the difference between two projectors. Part 2 of Theorem 1 of [AkhiezerGlazman] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjcmmul2	|- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))

Proof of Theorem pjcmmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 |- G e. CH
2		pjclem1.2	. . 3 |- H e. CH
3	1, 2	pjclem4 10083	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))
4		pjmfn 9617	. . . . 5 |- proj Fn CH
5	1, 2	chincl 9338	. . . . 5 |- (G i^i H) e. CH
6		fnfvelrn 3808	. . . . 5 |- ((proj Fn CH /\ (G i^i H) e. CH) -> (proj` (G i^i H)) e. ran proj)
7	4, 5, 6	mp2an 696	. . . 4 |- (proj` (G i^i H)) e. ran proj
8		eleq1 1532	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)) -> (((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj <-> (proj` (G i^i H)) e. ran proj))
9	7, 8	mpbiri 194	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)
10	1, 2	pjcmmul1 10085	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)
11	9, 10	sylibr 200	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))
12	3, 11	impbi 157	1 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957   i^i cin 2043  ran crn 3167   o. ccom 3170   Fn wfn 3173  ` cfv 3178  CHcch 8753  projcpj 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907  ax-hcompl 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-clim 6928  df-sum 6933  df-top 7552  df-bases 7554  df-topgen 7555  df-cld 7623  df-ntr 7624  df-cls 7625  df-cn 7714  df-cnp 7715  df-haus 7742  df-met 7753  df-bl 7755  df-opn 7756  df-lm 7884  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184  df-ip 8312  df-lno 8367  df-nmo 8368  df-0o 8370  df-ph 8431  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795  df-hlim 8796  df-hcau 8797  df-sh 9031  df-ch 9047  df-oc 9079  df-ch0 9080  df-pj 9192  df-h0op 9631  df-iop 9632  df-nmop 9722  df-cnop 9723  df-lnop 9724  df-bdop 9725  df-unop 9726  df-hmop 9727  df-nmfn 9728  df-nlfn 9729  df-cnfn 9730  df-lnfn 9731  df-adjh 9732

Copyright terms: Public domain