HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjcmul1i Unicode version

Theorem pjcmul1i 22773
Description: A necessary and sufficient condition for the product of two projectors to be a projector is that the projectors commute. Part 1 of Theorem 1 of [AkhiezerGlazman] p. 65. (Contributed by NM, 3-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1  |-  G  e. 
CH
pjclem1.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjcmul1i  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  <->  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  e. 
ran  proj  h )

Proof of Theorem pjcmul1i
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . 4  |-  G  e. 
CH
2 pjclem1.2 . . . 4  |-  H  e. 
CH
31, 2pjclem4 22771 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  -> 
( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  =  ( proj 
h `  ( G  i^i  H ) ) )
4 pjmfn 22286 . . . 4  |-  proj  h  Fn  CH
51, 2chincli 22031 . . . 4  |-  ( G  i^i  H )  e. 
CH
6 fnfvelrn 5623 . . . 4  |-  ( (
proj  h  Fn  CH  /\  ( G  i^i  H )  e.  CH )  -> 
( proj  h `  ( G  i^i  H ) )  e.  ran  proj  h )
74, 5, 6mp2an 655 . . 3  |-  ( proj 
h `  ( G  i^i  H ) )  e. 
ran  proj  h
83, 7syl6eqel 2372 . 2  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  -> 
( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  e.  ran  proj  h )
91pjbdlni 22721 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  G )  e. 
BndLinOp
102pjbdlni 22721 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  H )  e. 
BndLinOp
119, 10adjcoi 22672 . . . 4  |-  ( adjh `  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) ) )  =  ( ( adjh `  ( proj  h `  H ) )  o.  ( adjh `  ( proj  h `  G
) ) )
12 pjadj3 22760 . . . . . 6  |-  ( H  e.  CH  ->  ( adjh `  ( proj  h `  H ) )  =  ( proj  h `  H
) )
132, 12ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( adjh `  ( proj  h `  H
) )  =  (
proj  h `  H )
14 pjadj3 22760 . . . . . 6  |-  ( G  e.  CH  ->  ( adjh `  ( proj  h `  G ) )  =  ( proj  h `  G
) )
151, 14ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( adjh `  ( proj  h `  G
) )  =  (
proj  h `  G )
1613, 15coeq12i 4846 . . . 4  |-  ( (
adjh `  ( proj  h `
 H ) )  o.  ( adjh `  ( proj  h `  G ) ) )  =  ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)
1711, 16eqtri 2304 . . 3  |-  ( adjh `  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) ) )  =  ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)
18 pjadj2 22759 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  e.  ran  proj  h  ->  ( adjh `  (
( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
) )  =  ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
) )
1917, 18syl5reqr 2331 . 2  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  e.  ran  proj  h  ->  ( ( proj 
h `  G )  o.  ( proj  h `  H
) )  =  ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
) )
208, 19impbii 182 1  |-  ( ( ( proj  h `  G
)  o.  ( proj 
h `  H )
)  =  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  <->  ( ( proj  h `  G )  o.  ( proj  h `  H ) )  e. 
ran  proj  h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1624    e. wcel 1685    i^i cin 3152   ran crn 4689    o. ccom 4692    Fn wfn 5216   ` cfv 5221   CHcch 21501   proj  hcpjh 21509   adjhcado 21527
This theorem is referenced by:  pjcmul2i  22774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-dc 8067  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656  ax-hcompl 21773
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-lm 16953  df-t1 17036  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-fcls 17630  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-subgo 20961  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-dip 21266  df-ssp 21290  df-lno 21314  df-nmoo 21315  df-blo 21316  df-0o 21317  df-ph 21383  df-cbn 21434  df-hlo 21457  df-hnorm 21540  df-hba 21541  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-hcau 21545  df-sh 21778  df-ch 21793  df-oc 21823  df-ch0 21824  df-shs 21879  df-pjh 21966  df-h0op 22320  df-iop 22321  df-nmop 22411  df-cnop 22412  df-lnop 22413  df-bdop 22414  df-unop 22415  df-hmop 22416  df-nmfn 22417  df-nlfn 22418  df-cnfn 22419  df-lnfn 22420  df-adjh 22421
  Copyright terms: Public domain W3C validator