HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhth Unicode version

Theorem pjhth 22736
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhth  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  =  ~H )

Proof of Theorem pjhth
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 22568 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
2 shocsh 22627 . . . 4  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
4 shsss 22656 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( H  +H  ( _|_ `  H ) ) 
C_  ~H )
51, 3, 4syl2anc 643 . 2  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  C_  ~H )
6 fveq2 5661 . . . . . . . 8  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  ( _|_ `  H )  =  ( _|_ `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) )
76rexeqdv 2847 . . . . . . 7  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  ( E. z  e.  ( _|_ `  H ) x  =  ( y  +h  z )  <->  E. z  e.  ( _|_ `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) x  =  ( y  +h  z ) ) )
87rexeqbi1dv 2849 . . . . . 6  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  ( E. y  e.  H  E. z  e.  ( _|_ `  H ) x  =  ( y  +h  z )  <->  E. y  e.  if  ( H  e. 
CH ,  H ,  ~H ) E. z  e.  ( _|_ `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) x  =  ( y  +h  z ) ) )
98imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( x  e.  ~H  ->  E. y  e.  H  E. z  e.  ( _|_ `  H ) x  =  ( y  +h  z ) )  <->  ( x  e.  ~H  ->  E. y  e.  if  ( H  e. 
CH ,  H ,  ~H ) E. z  e.  ( _|_ `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) x  =  ( y  +h  z ) ) ) )
10 helch 22587 . . . . . . 7  |-  ~H  e.  CH
1110elimel 3727 . . . . . 6  |-  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  e.  CH
12 id 20 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  e.  ~H )
1311, 12pjhthlem2 22735 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  E. y  e.  if  ( H  e. 
CH ,  H ,  ~H ) E. z  e.  ( _|_ `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) x  =  ( y  +h  z ) )
149, 13dedth 3716 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  (
x  e.  ~H  ->  E. y  e.  H  E. z  e.  ( _|_ `  H ) x  =  ( y  +h  z
) ) )
15 shsel 22657 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( x  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. y  e.  H  E. z  e.  ( _|_ `  H
) x  =  ( y  +h  z ) ) )
161, 3, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  (
x  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. y  e.  H  E. z  e.  ( _|_ `  H
) x  =  ( y  +h  z ) ) )
1714, 16sylibrd 226 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  (
x  e.  ~H  ->  x  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) ) ) )
1817ssrdv 3290 . 2  |-  ( H  e.  CH  ->  ~H  C_  ( H  +H  ( _|_ `  H ) ) )
195, 18eqssd 3301 1  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  =  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643    C_ wss 3256   ifcif 3675   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   ~Hchil 22263    +h cva 22264   SHcsh 22272   CHcch 22273   _|_cort 22274    +H cph 22275
This theorem is referenced by:  pjhtheu  22737  pjeq  22742  axpjpj  22763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cc 8241  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996  ax-hilex 22343  ax-hfvadd 22344  ax-hvcom 22345  ax-hvass 22346  ax-hv0cl 22347  ax-hvaddid 22348  ax-hfvmul 22349  ax-hvmulid 22350  ax-hvmulass 22351  ax-hvdistr1 22352  ax-hvdistr2 22353  ax-hvmul0 22354  ax-hfi 22422  ax-his1 22425  ax-his2 22426  ax-his3 22427  ax-his4 22428  ax-hcompl 22545
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lm 17208  df-haus 17294  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-cfil 19072  df-cau 19073  df-cmet 19074  df-grpo 21620  df-gid 21621  df-ginv 21622  df-gdiv 21623  df-ablo 21711  df-subgo 21731  df-vc 21866  df-nv 21912  df-va 21915  df-ba 21916  df-sm 21917  df-0v 21918  df-vs 21919  df-nmcv 21920  df-ims 21921  df-ssp 22062  df-ph 22155  df-cbn 22206  df-hnorm 22312  df-hba 22313  df-hvsub 22315  df-hlim 22316  df-hcau 22317  df-sh 22550  df-ch 22565  df-oc 22595  df-ch0 22596  df-shs 22651
  Copyright terms: Public domain W3C validator