HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Unicode version

Theorem pjhtheu 21969
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 21991 for the uniqueness of  y. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, H, y

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 21968 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  =  ~H )
21eleq2d 2351 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  A  e.  ~H ) )
3 chsh 21800 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
4 shocsh 21859 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
6 shsel 21889 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
73, 5, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
82, 7bitr3d 246 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ~H  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
98biimpa 470 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
10 ocin 21871 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
113, 10syl 15 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
12 pjhthmo 21877 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
1413adantr 451 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
15 reu5 2754 . . 3  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
16 df-rmo 2552 . . . 4  |-  ( E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
1716anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) )  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  /\  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) ) )
1815, 17bitri 240 . 2  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) ) )
199, 14, 18sylanbrc 645 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   E*wmo 2145   E.wrex 2545   E!wreu 2546   E*wrmo 2547    i^i cin 3152   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   ~Hchil 21495    +h cva 21496   SHcsh 21504   CHcch 21505   _|_cort 21506    +H cph 21507   0Hc0h 21511
This theorem is referenced by:  pjhtheu2  21991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cc 8057  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hvcom 21577  ax-hvass 21578  ax-hv0cl 21579  ax-hvaddid 21580  ax-hfvmul 21581  ax-hvmulid 21582  ax-hvmulass 21583  ax-hvdistr1 21584  ax-hvdistr2 21585  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his2 21658  ax-his3 21659  ax-his4 21660  ax-hcompl 21777
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-rest 13323  df-topgen 13340  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lm 16955  df-haus 17039  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-cfil 18677  df-cau 18678  df-cmet 18679  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-subgo 20963  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-ssp 21292  df-ph 21385  df-cbn 21436  df-hnorm 21544  df-hba 21545  df-hvsub 21547  df-hlim 21548  df-hcau 21549  df-sh 21782  df-ch 21797  df-oc 21827  df-ch0 21828  df-shs 21883
  Copyright terms: Public domain W3C validator