Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Unicode version

Theorem pjhtheu 21934
 Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector can be decomposed uniquely into a member of a closed subspace and a member of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 21956 for the uniqueness of . (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 21933 . . . . 5
21eleq2d 2325 . . . 4
3 chsh 21765 . . . . 5
4 shocsh 21824 . . . . . 6
53, 4syl 17 . . . . 5
6 shsel 21854 . . . . 5
73, 5, 6syl2anc 645 . . . 4
82, 7bitr3d 248 . . 3
98biimpa 472 . 2
10 ocin 21836 . . . . 5
113, 10syl 17 . . . 4
12 pjhthmo 21842 . . . 4
133, 5, 11, 12syl3anc 1187 . . 3
1413adantr 453 . 2
15 reu5 2728 . . 3
16 df-rmo 2526 . . . 4
1716anbi2i 678 . . 3
1815, 17bitri 242 . 2
199, 14, 18sylanbrc 648 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wmo 2119  wrex 2519  wreu 2520  wrmo 2521   cin 3126  cfv 4673  (class class class)co 5792  chil 21460   cva 21461  csh 21469  cch 21470  cort 21471   cph 21472  c0h 21476 This theorem is referenced by:  pjhtheu2  21956 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hvcom 21542  ax-hvass 21543  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547  ax-hvmulass 21548  ax-hvdistr1 21549  ax-hvdistr2 21550  ax-hvmul0 21551  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his2 21623  ax-his3 21624  ax-his4 21625  ax-hcompl 21742 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fl 10892  df-seq 11014  df-exp 11072  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-rest 13290  df-topgen 13307  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-lm 16922  df-haus 17006  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-cfil 18644  df-cau 18645  df-cmet 18646  df-grpo 20819  df-gid 20820  df-ginv 20821  df-gdiv 20822  df-ablo 20910  df-subgo 20930  df-vc 21063  df-nv 21109  df-va 21112  df-ba 21113  df-sm 21114  df-0v 21115  df-vs 21116  df-nmcv 21117  df-ims 21118  df-ssp 21259  df-ph 21352  df-cbn 21403  df-hnorm 21509  df-hba 21510  df-hvsub 21512  df-hlim 21513  df-hcau 21514  df-sh 21747  df-ch 21762  df-oc 21792  df-ch0 21793  df-shs 21848
 Copyright terms: Public domain W3C validator