HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Structured version   Unicode version

Theorem pjhtheu 22888
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 22910 for the uniqueness of  y. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, H, y

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 22887 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  =  ~H )
21eleq2d 2502 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  A  e.  ~H ) )
3 chsh 22719 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
4 shocsh 22778 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
6 shsel 22808 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
73, 5, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
82, 7bitr3d 247 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ~H  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
98biimpa 471 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
10 ocin 22790 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
12 pjhthmo 22796 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
15 reu5 2913 . . 3  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
16 df-rmo 2705 . . . 4  |-  ( E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
1716anbi2i 676 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) )  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  /\  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) ) )
1815, 17bitri 241 . 2  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) ) )
199, 14, 18sylanbrc 646 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2281   E.wrex 2698   E!wreu 2699   E*wrmo 2700    i^i cin 3311   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ~Hchil 22414    +h cva 22415   SHcsh 22423   CHcch 22424   _|_cort 22425    +H cph 22426   0Hc0h 22430
This theorem is referenced by:  pjhtheu2  22910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lm 17285  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-shs 22802
  Copyright terms: Public domain W3C validator