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Theorem pjnmopi 22688
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 22243 . . 3  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 22396 . . 3  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj  h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 10 . 2  |-  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 2766 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2264 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 2889 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 22263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 21957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H )
13 normcl 21664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 21664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 8805 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 8882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 659 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4000 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  1 ) )
2322biimparc 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2421, 23sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2524expl 604 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2636 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 189 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2583 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 21772 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 8891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 22234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  =  y )
3635fveq2d 5462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2624 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 21992 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 21767 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 21789 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 8801 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2264 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 2889 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 259 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4001 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rcla4ev 2859 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 425 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2602 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 22404 . . . . . 6  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 10 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 8844 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3163 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
61 rexr 8845 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6216, 61ax-mp 10 . . . 4  |-  1  e.  RR*
63 supxr2 10598 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6460, 62, 63mpanl12 666 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6528, 56, 64sylancr 647 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
664, 65syl5eq 2302 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   -->wf 4669   ` cfv 4673   supcsup 7161   RRcr 8704   1c1 8706   RR*cxr 8834    < clt 8835    <_ cle 8836   ~Hchil 21459   normhcno 21463   0hc0v 21464   CHcch 21469   0Hc0h 21475   proj 
hcpjh 21477   normopcnop 21485
This theorem is referenced by:  pjbdlni  22689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785  ax-hilex 21539  ax-hfvadd 21540  ax-hvcom 21541  ax-hvass 21542  ax-hv0cl 21543  ax-hvaddid 21544  ax-hfvmul 21545  ax-hvmulid 21546  ax-hvmulass 21547  ax-hvdistr1 21548  ax-hvdistr2 21549  ax-hvmul0 21550  ax-hfi 21618  ax-his1 21621  ax-his2 21622  ax-his3 21623  ax-his4 21624  ax-hcompl 21741
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-lm 16921  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cfil 18643  df-cau 18644  df-cmet 18645  df-grpo 20818  df-gid 20819  df-ginv 20820  df-gdiv 20821  df-ablo 20909  df-subgo 20929  df-vc 21062  df-nv 21108  df-va 21111  df-ba 21112  df-sm 21113  df-0v 21114  df-vs 21115  df-nmcv 21116  df-ims 21117  df-dip 21234  df-ssp 21258  df-ph 21351  df-cbn 21402  df-hnorm 21508  df-hba 21509  df-hvsub 21511  df-hlim 21512  df-hcau 21513  df-sh 21746  df-ch 21761  df-oc 21791  df-ch0 21792  df-shs 21847  df-pjh 21934  df-nmop 22379
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