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Theorem pjnmopi 22722
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem pjnmopi
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 22277 . . 3  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 22430 . . 3  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj  h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 10 . 2  |-  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 2794 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2567 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 2917 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 22297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 21991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H )
13 normcl 21698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 21698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 8834 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 8911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 658 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4029 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  1 ) )
2322biimparc 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2421, 23sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2524expl 603 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2664 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 189 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2611 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 21806 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 8920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 22268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  =  y )
3635fveq2d 5491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2652 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 22026 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 21801 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 21823 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 8830 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2567 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 2917 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 259 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4030 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 2887 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 425 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2630 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 22438 . . . . . 6  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 10 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 8873 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3191 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
61 rexr 8874 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6216, 61ax-mp 10 . . . 4  |-  1  e.  RR*
63 supxr2 10628 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6460, 62, 63mpanl12 665 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6528, 56, 64sylancr 646 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
664, 65syl5eq 2330 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687   {cab 2272    =/= wne 2449   A.wral 2546   E.wrex 2547    C_ wss 3155   class class class wbr 4026   -->wf 5219   ` cfv 5223   supcsup 7190   RRcr 8733   1c1 8735   RR*cxr 8863    < clt 8864    <_ cle 8865   ~Hchil 21493   normhcno 21497   0hc0v 21498   CHcch 21503   0Hc0h 21509   proj 
hcpjh 21511   normopcnop 21519
This theorem is referenced by:  pjbdlni  22723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cc 8058  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814  ax-hilex 21573  ax-hfvadd 21574  ax-hvcom 21575  ax-hvass 21576  ax-hv0cl 21577  ax-hvaddid 21578  ax-hfvmul 21579  ax-hvmulid 21580  ax-hvmulass 21581  ax-hvdistr1 21582  ax-hvdistr2 21583  ax-hvmul0 21584  ax-hfi 21652  ax-his1 21655  ax-his2 21656  ax-his3 21657  ax-his4 21658  ax-hcompl 21775
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-lm 16955  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cfil 18677  df-cau 18678  df-cmet 18679  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-subgo 20963  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-dip 21268  df-ssp 21292  df-ph 21385  df-cbn 21436  df-hnorm 21542  df-hba 21543  df-hvsub 21545  df-hlim 21546  df-hcau 21547  df-sh 21780  df-ch 21795  df-oc 21825  df-ch0 21826  df-shs 21881  df-pjh 21968  df-nmop 22413
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