HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnmopi Unicode version

Theorem pjnmopi 22744
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 22299 . . 3  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 22452 . . 3  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj  h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 2804 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 2927 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 22319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 22013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H )
13 normcl 21720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  e.  RR )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 21720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 8930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  1 ) )
2322biimparc 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2421, 23sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2524expl 601 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2674 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 187 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2621 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 21828 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 8939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 22290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  =  y )
3635fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2662 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 22048 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 21823 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 21845 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 8849 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 2927 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 257 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 423 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2640 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 22460 . . . . . 6  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 8 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 8892 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3201 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
61 rexr 8893 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6216, 61ax-mp 8 . . . 4  |-  1  e.  RR*
63 supxr2 10648 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6460, 62, 63mpanl12 663 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6528, 56, 64sylancr 644 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
664, 65syl5eq 2340 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271   supcsup 7209   RRcr 8752   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   ~Hchil 21515   normhcno 21519   0hc0v 21520   CHcch 21525   0Hc0h 21531   proj 
hcpjh 21533   normopcnop 21541
This theorem is referenced by:  pjbdlni  22745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680  ax-hcompl 21797
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-subgo 20985  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-ssp 21314  df-ph 21407  df-cbn 21458  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-hlim 21568  df-hcau 21569  df-sh 21802  df-ch 21817  df-oc 21847  df-ch0 21848  df-shs 21903  df-pjh 21990  df-nmop 22435
  Copyright terms: Public domain W3C validator