HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnormssi Unicode version

Theorem pjnormssi 22744
Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnormssi  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, G

Proof of Theorem pjnormssi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7  |-  H  e. 
CH
2 pjco.1 . . . . . . 7  |-  G  e. 
CH
31, 2pjssmi 22741 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  (
( ( proj  h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  =  ( ( proj 
h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) `  x ) ) )
41, 2pjssge0i 22742 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  H ) `  x )  -h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  =  ( (
proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) `  x )  ->  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
53, 4syld 40 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
61, 2pjdifnormi 22743 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj  h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) 
.ih  x )  <->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) ) ) )
75, 6sylibd 205 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) ) )
87com12 27 . . 3  |-  ( G 
C_  H  ->  (
x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) ) )
98ralrimiv 2626 . 2  |-  ( G 
C_  H  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
101choccli 21882 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
1110cheli 21808 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ~H )
12 breq2 4028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  <-> 
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  0 ) )
1312biimpac 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
)  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) )  =  0 )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  <_  0
)
142pjhcli 21993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
15 normge0 21701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) ) )
17 normcl 21700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  e.  RR )
1814, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
19 0re 8834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
20 letri3 8903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) ) )
2120biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0 ) )
2218, 19, 21sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0 ) )
2316, 22sylan2i 636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0 ) )
2423anabsi6 791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  0 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0 )
2513, 24sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) )  /\  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) )  =  0 ) )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0 )
2625expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0 ) )
271pjhcli 21993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  x )  e.  ~H )
28 norm-i 21704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  x )  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) )  =  0  <->  ( ( proj 
h `  H ) `  x )  =  0h ) )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj  h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
30 pjoc2 22014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H )  <-> 
( ( proj  h `  H ) `  x
)  =  0h )
)
311, 30mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  <->  ( ( proj  h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
3229, 31bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
3332adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
34 norm-i 21704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0  <->  ( ( proj 
h `  G ) `  x )  =  0h ) )
3514, 34syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj  h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
36 pjoc2 22014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  G )  <-> 
( ( proj  h `  G ) `  x
)  =  0h )
)
372, 36mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  G )  <->  ( ( proj  h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
3835, 37bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
3938adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4026, 33, 393imtr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  ->  x  e.  ( _|_ `  G
) ) )
4140ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
)  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4241a2i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ~H  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4311, 42syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4443pm2.43d 44 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4544alimi 1546 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )  ->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
46 df-ral 2549 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  <->  A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) ) )
47 dfss2 3170 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  H ) 
C_  ( _|_ `  G
)  <->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4845, 46, 473imtr4i 257 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  ->  ( _|_ `  H
)  C_  ( _|_ `  G ) )
492, 1chsscon3i 22036 . . 3  |-  ( G 
C_  H  <->  ( _|_ `  H )  C_  ( _|_ `  G ) )
5048, 49sylibr 203 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  ->  G  C_  H
)
519, 50impbii 180 1  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544    i^i cin 3152    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    <_ cle 8864   ~Hchil 21495    .ih csp 21498   normhcno 21499   0hc0v 21500    -h cmv 21501   CHcch 21505   _|_cort 21506   proj 
hcpjh 21513
This theorem is referenced by:  pjssposi  22748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cc 8057  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hvcom 21577  ax-hvass 21578  ax-hv0cl 21579  ax-hvaddid 21580  ax-hfvmul 21581  ax-hvmulid 21582  ax-hvmulass 21583  ax-hvdistr1 21584  ax-hvdistr2 21585  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his2 21658  ax-his3 21659  ax-his4 21660  ax-hcompl 21777
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-lm 16955  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cfil 18677  df-cau 18678  df-cmet 18679  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-subgo 20963  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-dip 21268  df-ssp 21292  df-ph 21385  df-cbn 21436  df-hnorm 21544  df-hba 21545  df-hvsub 21547  df-hlim 21548  df-hcau 21549  df-sh 21782  df-ch 21797  df-oc 21827  df-ch0 21828  df-shs 21883  df-pjh 21970
  Copyright terms: Public domain W3C validator