HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnormssi Structured version   Unicode version

Theorem pjnormssi 23663
Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnormssi  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, G

Proof of Theorem pjnormssi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7  |-  H  e. 
CH
2 pjco.1 . . . . . . 7  |-  G  e. 
CH
31, 2pjssmi 23660 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  (
( ( proj  h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  =  ( ( proj 
h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) `  x ) ) )
41, 2pjssge0i 23661 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  H ) `  x )  -h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  =  ( (
proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) `  x )  ->  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
53, 4syld 42 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H ) `
 x )  -h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  .ih  x
) ) )
61, 2pjdifnormi 23662 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( (
( ( proj  h `  H ) `  x
)  -h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) 
.ih  x )  <->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  <_  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) ) ) )
75, 6sylibd 206 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) ) )
87com12 29 . . 3  |-  ( G 
C_  H  ->  (
x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) ) )
98ralrimiv 2780 . 2  |-  ( G 
C_  H  ->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
101choccli 22801 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
1110cheli 22727 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ~H )
12 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  <-> 
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  0 ) )
1312biimpac 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
)  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) )  =  0 )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  <_  0
)
142pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
15 normge0 22620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  0  <_  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) ) )
17 normcl 22619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  e.  RR )
1814, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  RR )
19 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
20 letri3 9152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
0  /\  0  <_  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) ) )
2120biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0 ) )
2218, 19, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  0  /\  0  <_  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0 ) )
2316, 22sylan2i 637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  0  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0 ) )
2423anabsi6 792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  0 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0 )
2513, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) )  /\  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) )  =  0 ) )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0 )
2625expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0 ) )
271pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  x )  e.  ~H )
28 norm-i 22623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  x )  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  x ) )  =  0  <->  ( ( proj 
h `  H ) `  x )  =  0h ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj  h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
30 pjoc2 22933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H )  <-> 
( ( proj  h `  H ) `  x
)  =  0h )
)
311, 30mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  <->  ( ( proj  h `  H ) `
 x )  =  0h ) )
3229, 31bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  H ) ) )
34 norm-i 22623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H  ->  ( ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  =  0  <->  ( ( proj 
h `  G ) `  x )  =  0h ) )
3514, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  ( ( proj  h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
36 pjoc2 22933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  G )  <-> 
( ( proj  h `  G ) `  x
)  =  0h )
)
372, 36mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( _|_ `  G )  <->  ( ( proj  h `  G ) `
 x )  =  0h ) )
3835, 37bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
3938adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  =  0  <->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4026, 33, 393imtr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )  ->  (
x  e.  ( _|_ `  H )  ->  x  e.  ( _|_ `  G
) ) )
4140ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 x ) )  <_  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  x )
)  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4241a2i 13 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ~H  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4311, 42syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) ) )
4443pm2.43d 46 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) ) )  ->  ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4544alimi 1568 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )  ->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
46 df-ral 2702 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  <->  A. x ( x  e. 
~H  ->  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) ) )
47 dfss2 3329 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  H ) 
C_  ( _|_ `  G
)  <->  A. x ( x  e.  ( _|_ `  H
)  ->  x  e.  ( _|_ `  G ) ) )
4845, 46, 473imtr4i 258 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  ->  ( _|_ `  H
)  C_  ( _|_ `  G ) )
492, 1chsscon3i 22955 . . 3  |-  ( G 
C_  H  <->  ( _|_ `  H )  C_  ( _|_ `  G ) )
5048, 49sylibr 204 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  <_ 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 x ) )  ->  G  C_  H
)
519, 50impbii 181 1  |-  ( G 
C_  H  <->  A. x  e.  ~H  ( normh `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  <_  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    <_ cle 9113   ~Hchil 22414    .ih csp 22417   normhcno 22418   0hc0v 22419    -h cmv 22420   CHcch 22424   _|_cort 22425   proj 
hcpjh 22432
This theorem is referenced by:  pjssposi  23667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lm 17285  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-shs 22802  df-pjh 22889
  Copyright terms: Public domain W3C validator