HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjoccoi Structured version   Unicode version

Theorem pjoccoi 23682
Description: Composition of projections of a subspace and its orthocomplement. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjidmco.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjoccoi  |-  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  0hop

Proof of Theorem pjoccoi
StepHypRef Expression
1 pjidmco.1 . . 3  |-  H  e. 
CH
21chssii 22735 . 2  |-  H  C_  ~H
3 ococss 22796 . 2  |-  ( H 
C_  ~H  ->  H  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  H ) ) )
41choccli 22810 . . 3  |-  ( _|_ `  H )  e.  CH
51, 4pjorthcoi 23673 . 2  |-  ( H 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  H ) )  ->  ( ( proj 
h `  H )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  0hop )
62, 3, 5mp2b 10 1  |-  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  ( _|_ `  H ) ) )  =  0hop
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321    o. ccom 4883   ` cfv 5455   ~Hchil 22423   CHcch 22433   _|_cort 22434   proj 
hcpjh 22441   0hopch0o 22447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cc 8316  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071  ax-hilex 22503  ax-hfvadd 22504  ax-hvcom 22505  ax-hvass 22506  ax-hv0cl 22507  ax-hvaddid 22508  ax-hfvmul 22509  ax-hvmulid 22510  ax-hvmulass 22511  ax-hvdistr1 22512  ax-hvdistr2 22513  ax-hvmul0 22514  ax-hfi 22582  ax-his1 22585  ax-his2 22586  ax-his3 22587  ax-his4 22588  ax-hcompl 22705
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-acn 7830  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-lm 17294  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cfil 19209  df-cau 19210  df-cmet 19211  df-grpo 21780  df-gid 21781  df-ginv 21782  df-gdiv 21783  df-ablo 21871  df-subgo 21891  df-vc 22026  df-nv 22072  df-va 22075  df-ba 22076  df-sm 22077  df-0v 22078  df-vs 22079  df-nmcv 22080  df-ims 22081  df-dip 22198  df-ssp 22222  df-ph 22315  df-cbn 22366  df-hnorm 22472  df-hba 22473  df-hvsub 22475  df-hlim 22476  df-hcau 22477  df-sh 22710  df-ch 22725  df-oc 22755  df-ch0 22756  df-shs 22811  df-pjh 22898  df-h0op 23252
  Copyright terms: Public domain W3C validator