Theorem pjss2co 10087

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	|- G e. CH
pjco.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjss2co	|- (G (_ H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))

Proof of Theorem pjss2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . . 7 |- G e. CH
2		pjco.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
3	1, 2	pjco 10081	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` ((proj` H)` x)))
4	3	adantl 390	. . . . 5 |- ((G (_ H /\ x e. H~) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` ((proj` H)` x)))
5		fveq2 3730	. . . . . . . . . 10 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((proj` H)` x) = ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h)))
6	5	fveq2d 3734	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))))
7		fveq2 3730	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((proj` G)` x) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h)))
8	6, 7	eqeq12d 1492	. . . . . . . 8 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x) <-> ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h))))
9	8	imbi2d 614	. . . . . . 7 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x)) <-> (G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h)))))
10		ax-hv0cl 8868	. . . . . . . . 9 |- 0h e. H~
11	10	elimel 2398	. . . . . . . 8 |- if(x e. H~, x, 0h) e. H~
12	1, 11, 2	pjss2 9620	. . . . . . 7 |- (G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h)))
13	9, 12	dedth 2387	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x)))
14	13	impcom 351	. . . . 5 |- ((G (_ H /\ x e. H~) -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x))
15	4, 14	eqtrd 1510	. . . 4 |- ((G (_ H /\ x e. H~) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` x))
16	15	r19.21aiva 1717	. . 3 |- (G (_ H -> A.x e. H~ (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` x))
17	1	pjf 9644	. . . . 5 |- (proj` G):H~-->H~
18	2	pjf 9644	. . . . 5 |- (proj` H):H~-->H~
19	17, 18	hocof 9687	. . . 4 |- ((proj` G) o. (proj` H)):H~-->H~
20	19, 17	hoeq 9682	. . 3 |- (A.x e. H~ (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` x) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))
21	16, 20	sylib 198	. 2 |- (G (_ H -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))
22		fveq1 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (((proj` G) o. (proj` H))` y) = ((proj` G)` y))
23	22	opreq2d 3982	. . . . . . . . . . 11 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)) = (x .ih ((proj` G)` y)))
24	23	ad2antlr 407	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)) = (x .ih ((proj` G)` y)))
25	2, 1	pjadjco 10084	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)))
26	25	adantlr 395	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)))
27	1	pjadjt 9625	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((proj` G)` x) .ih y) = (x .ih ((proj` G)` y)))
28	27	adantlr 395	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> (((proj` G)` x) .ih y) = (x .ih ((proj` G)` y)))
29	24, 26, 28	3eqtr4d 1520	. . . . . . . . 9 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y))
30	29	exp31 378	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (y e. H~ -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y))))
31	30	r19.21adv 1721	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> A.y e. H~ ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y)))
32		hial2eqt 8967	. . . . . . . 8 |- (((((proj` H) o. (proj` G))` x) e. H~ /\ ((proj` G)` x) e. H~) -> (A.y e. H~ ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y) <-> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
33	2, 1	pjcohcl 10083	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> (((proj` H) o. (proj` G))` x) e. H~)
34	1	pjhcl 9247	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> ((proj` G)` x) e. H~)
35	32, 33, 34	sylanc 473	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (A.y e. H~ ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y) <-> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
36	31, 35	sylibd 202	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
37	36	com12 11	. . . . 5 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (x e. H~ -> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
38	37	r19.21aiv 1716	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> A.x e. H~ (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x))
39	18, 17	hocof 9687	. . . . 5 |- ((proj` H) o. (proj` G)):H~-->H~
40	39, 17	hoeq 9682	. . . 4 |- (A.x e. H~ (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x) <-> ((proj` H) o. (proj` G)) = (proj` G))
41	38, 40	sylib 198	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> ((proj` H) o. (proj` G)) = (proj` G))
42	1, 2	pjss1co 10086	. . 3 |- (G (_ H <-> ((proj` H) o. (proj` G)) = (proj` G))
43	41, 42	sylibr 200	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> G (_ H)
44	21, 43	impbi 157	1 |- (G (_ H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050  ifcif 2365   o. ccom 3180  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  H~chil 8783  0hc0v 8786   .ih csp 8788  CHcch 8793  projcpj 8801

This theorem is referenced by:  pjidmco 10100  pjin2 10116  pjin3 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp