HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssdif1i Unicode version

Theorem pjssdif1i 23189
Description: A necessary and sufficient condition for the difference between two projectors to be a projector. Part 1 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 23186). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjssdif1i  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) )  e. 
ran  proj  h )

Proof of Theorem pjssdif1i
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . 3  |-  G  e. 
CH
2 pjco.2 . . 3  |-  H  e. 
CH
31, 2pjssdif2i 23188 . 2  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) )  =  ( proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) )
4 pjmfn 22728 . . . . 5  |-  proj  h  Fn  CH
51choccli 22320 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  G )  e.  CH
62, 5chincli 22473 . . . . 5  |-  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) )  e.  CH
7 fnfvelrn 5769 . . . . 5  |-  ( (
proj  h  Fn  CH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) )  e.  CH )  -> 
( proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) )  e. 
ran  proj  h )
84, 6, 7mp2an 653 . . . 4  |-  ( proj 
h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) )  e. 
ran  proj  h
9 eleq1 2426 . . . 4  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) )  =  ( proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) )  ->  ( (
( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) )  e.  ran  proj  h  <->  ( proj  h `
 ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) )  e.  ran  proj 
h ) )
108, 9mpbiri 224 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) )  =  ( proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) )  ->  ( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) )  e. 
ran  proj  h )
11 fvelrnb 5677 . . . . . 6  |-  ( proj 
h  Fn  CH  ->  ( ( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) )  e.  ran  proj  h  <->  E. x  e.  CH  ( proj  h `  x )  =  ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) ) )
124, 11ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) )  e.  ran  proj  h  <->  E. x  e.  CH  ( proj  h `  x )  =  ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) ) )
13 pjige0 22704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  ( (
( proj  h `  x
) `  y )  .ih  y ) )
1413adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  ( proj  h `  x
)  =  ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) )  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  (
( ( proj  h `  x ) `  y
)  .ih  y )
)
15 fveq1 5631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
proj  h `  x )  =  ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) )  ->  (
( proj  h `  x
) `  y )  =  ( ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  y ) )
1615oveq1d 5996 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
proj  h `  x )  =  ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) )  ->  (
( ( proj  h `  x ) `  y
)  .ih  y )  =  ( ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) ) `
 y )  .ih  y ) )
1716breq2d 4137 . . . . . . . . 9  |-  ( (
proj  h `  x )  =  ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) )  ->  (
0  <_  ( (
( proj  h `  x
) `  y )  .ih  y )  <->  0  <_  ( ( ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) `  y
)  .ih  y )
) )
1817ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  ( proj  h `  x
)  =  ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( 0  <_ 
( ( ( proj 
h `  x ) `  y )  .ih  y
)  <->  0  <_  (
( ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) `  y
)  .ih  y )
) )
1914, 18mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  ( proj  h `  x
)  =  ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) )  /\  y  e.  ~H )  ->  0  <_  (
( ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) `  y
)  .ih  y )
)
2019ralrimiva 2711 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( proj  h `  x
)  =  ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) )  ->  A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) ) `
 y )  .ih  y ) )
2120rexlimiva 2747 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  CH  ( proj  h `  x )  =  ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) )  ->  A. y  e.  ~H  0  <_  (
( ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) ) `  y
)  .ih  y )
)
2212, 21sylbi 187 . . . 4  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) )  e.  ran  proj  h  ->  A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) ) `
 y )  .ih  y ) )
231, 2pjssposi 23186 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  y )  .ih  y
)  <->  G  C_  H )
2423, 3bitri 240 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ~H  0  <_  ( ( ( (
proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) ) `  y )  .ih  y
)  <->  ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) )  =  (
proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) )
2522, 24sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) )  e.  ran  proj  h  -> 
( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) )  =  ( proj 
h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G
) ) ) )
2610, 25impbii 180 . 2  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  -op  ( proj  h `
 G ) )  =  ( proj  h `  ( H  i^i  ( _|_ `  G ) ) )  <->  ( ( proj 
h `  H )  -op  ( proj  h `  G
) )  e.  ran  proj 
h )
273, 26bitri 240 1  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj  h `  H )  -op  ( proj  h `  G ) )  e. 
ran  proj  h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    i^i cin 3237    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   ran crn 4793    Fn wfn 5353   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   0cc0 8884    <_ cle 9015   ~Hchil 21933    .ih csp 21936   CHcch 21943   _|_cort 21944   proj  hcpjh 21951    -op chod 21954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964  ax-hilex 22013  ax-hfvadd 22014  ax-hvcom 22015  ax-hvass 22016  ax-hv0cl 22017  ax-hvaddid 22018  ax-hfvmul 22019  ax-hvmulid 22020  ax-hvmulass 22021  ax-hvdistr1 22022  ax-hvdistr2 22023  ax-hvmul0 22024  ax-hfi 22092  ax-his1 22095  ax-his2 22096  ax-his3 22097  ax-his4 22098  ax-hcompl 22215
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-lm 17176  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cfil 18896  df-cau 18897  df-cmet 18898  df-grpo 21290  df-gid 21291  df-ginv 21292  df-gdiv 21293  df-ablo 21381  df-subgo 21401  df-vc 21536  df-nv 21582  df-va 21585  df-ba 21586  df-sm 21587  df-0v 21588  df-vs 21589  df-nmcv 21590  df-ims 21591  df-dip 21708  df-ssp 21732  df-ph 21825  df-cbn 21876  df-hnorm 21982  df-hba 21983  df-hvsub 21985  df-hlim 21986  df-hcau 21987  df-sh 22220  df-ch 22235  df-oc 22265  df-ch0 22266  df-shs 22321  df-pjh 22408  df-hodif 22746
  Copyright terms: Public domain W3C validator